QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Para quais valores de \mathrm{x}, \mathrm{o} gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) tem uma tangente horizontal. Justifique sua resposta.
f(x)=\frac{\operatorname{sec} (x)}{1+\tan (x)}

Passo 1

O enunciado pede: “Para quais valores de x o gráfico de f(x) tem uma tangente horizontal?”
Dados fornecidos: f(x)=\displaystyle\frac{\operatorname{sec}(x)}{1+\tan(x)}.
O que precisamos encontrar: os pontos (valores de x) em que a derivada f'(x) é igual a zero, desde que esses pontos pertençam ao domínio de f (porque só existem tangentes onde a função está definida). Listo abaixo as informações relevantes dadas pelo enunciado: \operatorname{sec}(x) e \tan(x) aparecem na fórmula, então haverá restrições quando \cos(x)=0 (pois \operatorname{sec} e \tan são problemáticas aí) e também quando 1+\tan(x)=0 (pois o denominador original não pode ser zero).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar f(x) algebraicamente para facilitar a diferenciação. Use que \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} e \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Assim,
f(x)=\frac{\dfrac{1}{\cos(x)}}{1+\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (multiplicando numerador e denominador por \cos(x)) obtemos
f(x)=\frac{1}{\cos(x)+\sin(x)}.
Observação importante: essa simplificação é válida somente nos x em que a expressão original está definida (ou seja, onde \cos(x)\neq 0 e 1+\tan(x)\neq 0). Vamos tratar essas restrições em detalhe a seguir.

Passo 3

Determinar o domínio (pontos proibidos) a partir da forma original:
  • \cos(x)\neq 0 porque \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x). Logo x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • 1+\tan(x)\neq 0 porque é o denominador original. Isso dá \tan(x)\neq -1, ou seja x\neq -\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
    Note que, na forma simplificada, \cos(x)+\sin(x)=0 corresponde exatamente a \tan(x)=-1, então as duas descrições são compatíveis. Portanto o domínio é todos os x reais exceto x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi e x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi.

Passo 4

Agora diferenciamos a forma simplificada
f(x)=\frac{1}{\cos(x)+\sin(x)}.
Vou te ensinar a regra que usamos: se f(x)=\dfrac{1}{u(x)}, então
f'(x)=-\frac{u'(x)}{[u(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=\cos(x)+\sin(x). Também lembro as derivadas básicas: (\sin x)'=\cos x e (\cos x)'=-\sin x. Não tem mistério — memorizou essas duas e você faz a maioria das derivações trigonométricas.

Passo 5

Calcule u'(x):
u'(x)=(\cos x)' + (\sin x)' = -\sin x + \cos x.
Aplicando a regra do recíproco:
f'(x)=-\frac{-\sin x + \cos x}{(\cos x + \sin x)^2} = \frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^2}.
Portanto a derivada ficou bem simples: numerador \sin x - \cos x e denominador (\cos x + \sin x)^2.

Passo 6

Tangente horizontal ocorre quando f'(x)=0 (e a função for definida naquele ponto). Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). Então resolvemos
\sin x - \cos x = 0.
Isto é \sin x = \cos x. Dividindo por \cos x (quando \cos x\neq 0) dá \tan x = 1. A solução geral dessa equação é
x = \frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Uma forma alternativa (útil em provas) é notar que \sin x - \cos x = \sqrt{2}\,\sin\!\big(x-\tfrac{\pi}{4}\big), então a igualdade a zero dá x-\tfrac{\pi}{4}=k\pi, o que leva à mesma solução.

Passo 7

Precisamos verificar que esses pontos estão no domínio da função original (ou seja, não são pontos onde a função não existe). Para x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi temos \tan x=1, então 1+\tan x=2\neq 0. Além disso \cos\big(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\big)=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\neq 0. Portanto esses x são pontos válidos do domínio e, como o numerador da derivada se anula aí, são exatamente pontos com tangente horizontal. Não há outras soluções porque onde o denominador da derivada é zero a função original está indefinida (então não há tangente ali).

Passo 8

Conclusão e comentário final: a função tem tangente horizontal exatamente nos pontos que resolvem \tan x=1, ou seja em x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi. Esses pontos se repetem periodicamente a cada \pi unidades ao longo do eixo x. Força aí — é um padrão bonito e simples de decorar!

Resposta

x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

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