QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Para quais valores de
gráfico de
tem uma tangente horizontal. Justifique sua resposta.
Para quais valores de
Passo 1
O enunciado pede: “Para quais valores de
o gráfico de
tem uma tangente horizontal?”
Dados fornecidos: .
O que precisamos encontrar: os pontos (valores de ) em que a derivada
é igual a zero, desde que esses pontos pertençam ao domínio de
(porque só existem tangentes onde a função está definida). Listo abaixo as informações relevantes dadas pelo enunciado:
e
aparecem na fórmula, então haverá restrições quando
(pois
e
são problemáticas aí) e também quando
(pois o denominador original não pode ser zero).
Dados fornecidos:
O que precisamos encontrar: os pontos (valores de
Passo 2
Primeiro vamos simplificar
algebraicamente para facilitar a diferenciação. Use que
e
. Assim,
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (multiplicando numerador e denominador por
) obtemos
Observação importante: essa simplificação é válida somente nos
em que a expressão original está definida (ou seja, onde
e
). Vamos tratar essas restrições em detalhe a seguir.
Passo 3
Determinar o domínio (pontos proibidos) a partir da forma original:
-
porque . Logo , . -
porque é o denominador original. Isso dá , ou seja , .
Note que, na forma simplificada,corresponde exatamente a , então as duas descrições são compatíveis. Portanto o domínio é todos os reais exceto e .
Passo 4
Agora diferenciamos a forma simplificada
Vou te ensinar a regra que usamos: se
, então
Aqui
. Também lembro as derivadas básicas:
e
. Não tem mistério — memorizou essas duas e você faz a maioria das derivações trigonométricas.
Passo 5
Calcule
:
Aplicando a regra do recíproco:
Portanto a derivada ficou bem simples: numerador
e denominador
.
Passo 6
Tangente horizontal ocorre quando
(e a função for definida naquele ponto). Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). Então resolvemos
Isto é
. Dividindo por
(quando
) dá
. A solução geral dessa equação é
Uma forma alternativa (útil em provas) é notar que
, então a igualdade a zero dá
, o que leva à mesma solução.
Passo 7
Precisamos verificar que esses pontos estão no domínio da função original (ou seja, não são pontos onde a função não existe). Para
temos
, então
. Além disso
. Portanto esses
são pontos válidos do domínio e, como o numerador da derivada se anula aí, são exatamente pontos com tangente horizontal. Não há outras soluções porque onde o denominador da derivada é zero a função original está indefinida (então não há tangente ali).
Passo 8
Conclusão e comentário final: a função tem tangente horizontal exatamente nos pontos que resolvem
, ou seja em
. Esses pontos se repetem periodicamente a cada
unidades ao longo do eixo
. Força aí — é um padrão bonito e simples de decorar!