QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Encontre a área da região entre as parábolas
e
.
Justifique sua resposta.
Encontre a área da região entre as parábolas
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a área da região limitada entre as duas parábolas
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A parábola inferior é
.\n - A parábola superior é
.\n - A tarefa é calcular a área da região situada entre essas duas curvas (ou seja, a área limitada por elas).\n
Não começamos a resolver ainda — só confirmamos o que é pedido e quais funções temos.
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção das duas curvas — são os limites da integração. Igualamos as expressões para
:
Agora rearranjamos todos os termos para um lado:
Fatorando:
Portanto os pontos de interseção em
são
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva é a “superior” (maior
) entre
e
. Uma forma simples é testar um ponto intermediário, por exemplo
.
Calculamos:
Como
, conclui-se que
é de fato a curva superior no intervalo
e
é a inferior.
Passo 4
Agora a fórmula básica que usamos: a área entre duas curvas
e
entre
e
é
Intuição rápida: dividimos a região em retângulos verticais de largura infinitesimal
e altura
; somando (integrando) obtemos a área total. Aqui
e
são os pontos de interseção que encontramos (
e
).
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso, montamos a integral:
Simplificando a função integranda:
Então
Passo 6
Calculamos a integral passo a passo. Primeiro encontramos uma primitiva (antiderivada) da função
. Lembre que
Usando linearidade,
Agora avaliamos a primitiva entre
e
(Teorema Fundamental do Cálculo):
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: a área encontrada é
. Faz sentido numericamente (região pequena entre as duas parábolas entre
e
). Dica para prova: sempre faça (i) interseção para achar limites, (ii) escolha um ponto para ver qual é top/bottom, (iii) monte
e calcule a primitiva com calma.