QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Encontre a área da região entre as parábolas y_{B}=x^{2} e y_{T}=2 x-x^{2}.
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área da região limitada entre as duas parábolas y_{B}=x^{2} e y_{T}=2x-x^{2}.\n
Informações dadas:
  • A parábola inferior é y_{B}=x^{2}.\n
  • A parábola superior é y_{T}=2x-x^{2}.\n
  • A tarefa é calcular a área da região situada entre essas duas curvas (ou seja, a área limitada por elas).\n
    Não começamos a resolver ainda — só confirmamos o que é pedido e quais funções temos.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção das duas curvas — são os limites da integração. Igualamos as expressões para y:
x^{2} = 2x - x^{2}.
Agora rearranjamos todos os termos para um lado:
x^{2} + x^{2} - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2} - 2x = 0.
Fatorando:
2x(x-1)=0.
Portanto os pontos de interseção em x são x=0 e x=1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva é a “superior” (maior y) entre x=0 e x=1. Uma forma simples é testar um ponto intermediário, por exemplo x=\tfrac{1}{2}.
Calculamos:
y_{T}\Big(\tfrac{1}{2}\Big)=2\cdot\tfrac{1}{2}-\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^{2}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4},
y_{B}\Big(\tfrac{1}{2}\Big)=\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Como \tfrac{3}{4}>\tfrac{1}{4}, conclui-se que y_{T}=2x-x^{2} é de fato a curva superior no intervalo [0,1] e y_{B}=x^{2} é a inferior.

Passo 4

Agora a fórmula básica que usamos: a área entre duas curvas y_{\text{top}} e y_{\text{bottom}} entre x=a e x=b é
A=\int_{a}^{b}\big(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\big)\,dx.
Intuição rápida: dividimos a região em retângulos verticais de largura infinitesimal dx e altura y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}; somando (integrando) obtemos a área total. Aqui a e b são os pontos de interseção que encontramos ( 0 e 1).

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso, montamos a integral:
A=\int_{0}^{1}\big((2x-x^{2})-x^{2}\big)\,dx.
Simplificando a função integranda:
(2x-x^{2})-x^{2}=2x-2x^{2}.
Então
A=\int_{0}^{1}(2x-2x^{2})\,dx.

Passo 6

Calculamos a integral passo a passo. Primeiro encontramos uma primitiva (antiderivada) da função 2x-2x^{2}. Lembre que
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\quad\text{e}\quad\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Usando linearidade,
\int(2x-2x^{2})\,dx = 2\int x\,dx - 2\int x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} - 2\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{2} - \frac{2x^{3}}{3}.
Agora avaliamos a primitiva entre 0 e 1 (Teorema Fundamental do Cálculo):
A=\left[x^{2}-\frac{2x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\left(1^{2}-\frac{2\cdot1^{3}}{3}\right)-\left(0^{2}-\frac{2\cdot0^{3}}{3}\right)=1-\frac{2}{3}= \frac{1}{3}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: a área encontrada é \tfrac{1}{3}. Faz sentido numericamente (região pequena entre as duas parábolas entre x=0 e x=1). Dica para prova: sempre faça (i) interseção para achar limites, (ii) escolha um ponto para ver qual é top/bottom, (iii) monte \int (y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}})\,dx e calcule a primitiva com calma.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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