QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)

Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
I=\int \mathrm{e}^{-2 x}(x+1)^{2} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral indefinida
I=\int \mathrm{e}^{-2 x}(x+1)^{2}\,d x
e pede para determinar o valor dessa integral (ou seja, encontrar uma primitiva de \mathrm{e}^{-2 x}(x+1)^{2}). As informações relevantes são: a função integranda é o produto de uma exponencial \mathrm{e}^{-2x} por um polinômio (x+1)^{2}. Não há limites de integração, portanto devemos retornar a primitiva mais uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia: quando temos um polinômio multiplicando uma exponencial do tipo \mathrm{e}^{ax}, é natural usar substituição para simplificar e depois aplicar integração por partes repetida. Primeiro faço a substituição \;t=x+1\;, que centraliza o polinômio.
Com t=x+1 temos dt=dx e
\mathrm{e}^{-2x}=\mathrm{e}^{-2(t-1)}=\mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{-2t}.
Logo
I=\int \mathrm{e}^{-2x}(x+1)^{2}\,dx = \mathrm{e}^{2}\int t^{2}\mathrm{e}^{-2t}\,dt.
Defino
J=\int t^{2}\mathrm{e}^{-2t}\,dt,
então I=\mathrm{e}^{2}J. Agora o foco é calcular J.

Passo 3

Lembrete (aula rápida): a fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções escolhidas de modo que du e v sejam fáceis de obter. Aqui aplicaremos integração por partes com u=t^{2} e dv=\mathrm{e}^{-2t}\,dt. Então
du = 2t\,dt,\qquad v=\int \mathrm{e}^{-2t}\,dt = -\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2t}.
Aplicando a fórmula:
J = t^{2}\left(-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2t}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2t}\right)\cdot 2t\,dt.
Simplificando:
J = -\tfrac{1}{2}t^{2}\mathrm{e}^{-2t} + \int t\,\mathrm{e}^{-2t}\,dt.
Chamemos K=\int t\,\mathrm{e}^{-2t}\,dt. Assim J = -\tfrac{1}{2}t^{2}\mathrm{e}^{-2t} + K.

Passo 4

Calculando K por partes outra vez. Escolho u=t e dv=\mathrm{e}^{-2t}\,dt. Então
du=dt,\qquad v = -\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2t}.
Aplicando integração por partes:
K = t\left(-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2t}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2t}\right)\cdot 1\,dt.
Simplificando:
K = -\tfrac{1}{2}t\mathrm{e}^{-2t} + \tfrac{1}{2}\int \mathrm{e}^{-2t}\,dt.
E a integral final é simples:
\int \mathrm{e}^{-2t}\,dt = -\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2t}.
Logo
K = -\tfrac{1}{2}t\mathrm{e}^{-2t} + \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2t}\right) = -\tfrac{1}{2}t\mathrm{e}^{-2t} - \tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2t}.

Passo 5

Volto para J. Substituindo K em J = -\tfrac{1}{2}t^{2}\mathrm{e}^{-2t} + K, obtemos
J = -\tfrac{1}{2}t^{2}\mathrm{e}^{-2t} -\tfrac{1}{2}t\mathrm{e}^{-2t} - \tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2t}.
Fatorando \mathrm{e}^{-2t}:
J = \mathrm{e}^{-2t}\left(-\tfrac{1}{2}t^{2} -\tfrac{1}{2}t - \tfrac{1}{4}\right).
Também posso escrever
J = -\tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2t}\left(2t^{2}+2t+1\right).

Passo 6

Lembro que I=\mathrm{e}^{2}J e t=x+1. Então
I = \mathrm{e}^{2}\left(-\tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2t}\left(2t^{2}+2t+1\right)\right) + C.
Como \mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{-2t}=\mathrm{e}^{-2x} (pois 2-2t= -2x), e substituindo t=x+1, temos
I = -\tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2x}\bigl(2(x+1)^{2}+2(x+1)+1\bigr) + C.

Passo 7

Simplifico o polinômio dentro do parênteses para uma forma mais direta. Calculando:
2(x+1)^{2}+2(x+1)+1 = 2(x^{2}+2x+1)+2x+2+1 = 2x^{2}+6x+5.
Portanto a primitiva fica
I = -\tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2x}\,(2x^{2}+6x+5) + C.
(se quiser, dá para conferir derivando: a derivada dessa expressão é exatamente \mathrm{e}^{-2x}(x+1)^{2}, então está correta).

Resposta

I=-\tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2x}\,(2x^{2}+6x+5)+C

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