QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a integral indefinida
e pede para determinar o valor dessa integral (ou seja, encontrar uma primitiva de
). As informações relevantes são: a função integranda é o produto de uma exponencial
por um polinômio
. Não há limites de integração, portanto devemos retornar a primitiva mais uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia: quando temos um polinômio multiplicando uma exponencial do tipo
, é natural usar substituição para simplificar e depois aplicar integração por partes repetida. Primeiro faço a substituição
, que centraliza o polinômio.
Com
temos
e
Logo
Defino
então
. Agora o foco é calcular
.
Passo 3
Lembrete (aula rápida): a fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções escolhidas de modo que
e
sejam fáceis de obter. Aqui aplicaremos integração por partes com
e
. Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Chamemos
. Assim
.
Passo 4
Calculando
por partes outra vez. Escolho
e
. Então
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
E a integral final é simples:
Logo
Passo 5
Volto para
. Substituindo
em
, obtemos
Fatorando
:
Também posso escrever
Passo 6
Lembro que
e
. Então
Como
(pois
), e substituindo
, temos
Passo 7
Simplifico o polinômio dentro do parênteses para uma forma mais direta. Calculando:
Portanto a primitiva fica
(se quiser, dá para conferir derivando: a derivada dessa expressão é exatamente
, então está correta).