QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
I=\int_{0}^{\pi / 2} \mathrm{e}^{-x} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=\int_{0}^{\pi/2} e^{-x}\operatorname{sen}(x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
\text{intervalo: }[0,\tfrac{\pi}{2}],\qquad \text{integrando: }e^{-x}\operatorname{sen}(x).
A tarefa é determinar o valor numérico dessa integral e justificar cada passo.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Vou te explicar isso como se eu estivesse te contando um truque mágico: quando temos um produto u\cdot v' (onde v' é a derivada de algo), a fórmula de integração por partes transforma a integral em outra que às vezes é mais fácil. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u é uma função que escolhemos (e então du é sua derivada vezes dx) e dv é outra parte (e v é uma primitiva de dv). Aqui du e v também aparecem e precisamos calcular ambos. A escolha de u e dv é estratégica: escolhemos u de modo que du fique mais simples e escolhemos dv de modo que possamos integrar dv facilmente para obter v.

Passo 3

Aplicamos integração por partes na integral I. Tomamos
u=\operatorname{sen}(x),\qquad dv=e^{-x}\,dx.
Então
du=\cos(x)\,dx,\qquad v=\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}.
Usando a fórmula:
\int_{0}^{\pi/2} e^{-x}\operatorname{sen}(x)\,dx = \left[\,\operatorname{sen}(x)\cdot(-e^{-x})\,\right]_{0}^{\pi/2} - \int_{0}^{\pi/2} (-e^{-x})\cos(x)\,dx.
Simplificando os sinais:
I = -e^{-x}\operatorname{sen}(x)\Big|_{0}^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} e^{-x}\cos(x)\,dx.
Avalia o termo de fronteira: em x=\pi/2 temos \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=1, então o termo é -e^{-\pi/2}; em x=0 temos \operatorname{sen}(0)=0, termo zero. Logo
I = -e^{-\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} e^{-x}\cos(x)\,dx.
Para simplificar a notação, defina
K=\int_{0}^{\pi/2} e^{-x}\cos(x)\,dx.
Então temos a relação
I = -e^{-\pi/2} + K.

Passo 4

Agora calculamos K por partes também. Tomamos
u=\cos(x),\qquad dv=e^{-x}\,dx.
Então
du=-\sin(x)\,dx,\qquad v=-e^{-x}.
Aplicando a fórmula:
K=\int_{0}^{\pi/2} e^{-x}\cos(x)\,dx = \left[\,\cos(x)\cdot(-e^{-x})\,\right]_{0}^{\pi/2} - \int_{0}^{\pi/2} (-e^{-x})(- \sin(x))\,dx.
Calma com os sinais: (-e^{-x})(- \sin x)=e^{-x}\sin x e há um sinal menos na frente da integral, então
K = -e^{-x}\cos(x)\Big|_{0}^{\pi/2} - \int_{0}^{\pi/2} e^{-x}\sin(x)\,dx.
Mas a última integral é exatamente I. Agora avalie o termo de fronteira: em x=\pi/2 temos \cos(\tfrac{\pi}{2})=0 dando 0; em x=0 temos \cos(0)=1 dando -e^{0}(-?) — atenção: é -e^{-x}\cos x avaliado em 0 é -e^{0}\cdot 1=-1. Então
-e^{-x}\cos(x)\Big|_{0}^{\pi/2} = 0 - (-1) = 1.
Portanto
K = 1 - I.

Passo 5

Voltando à relação do Passo 3, lembramos que
I = -e^{-\pi/2} + K.
Substituindo K do Passo 4:
I = -e^{-\pi/2} + (1 - I).
Agora resolvemos essa equação para I. Reorganizando:
I = 1 - e^{-\pi/2} - I
2I = 1 - e^{-\pi/2}
I = \frac{1 - e^{-\pi/2}}{2}.
Fica intuitivo: I é positivo (porque 1> e^{-\pi/2}) e tem um valor entre 0 e \tfrac12.

Resposta

I=\frac{1-e^{-\pi/2}}{2}

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