QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor real e positivo de a que satisfaça a equação abaixo.
\int_{-2 a}^{2 a}\left|a^{2}-x^{2}\right| \mathrm{d} x=20
Justifique sua resposta na área quadriculada.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor real e positivo de a tal que
\int_{-2a}^{2a}\left|a^{2}-x^{2}\right|\,\mathrm{d}x=20.
Informações dadas relevantes:
  • O integrando é \left|a^{2}-x^{2}\right|.
  • Os limites de integração dependem de a: de -2a a 2a.
  • Devemos considerar a>0 (valor real e positivo).
  • Observação importante (que vamos usar): os zeros da expressão dentro do valor absoluto são as soluções de a^{2}-x^{2}=0, ou seja x=\pm a.

Passo 2

Vamos entender o sinal de a^{2}-x^{2} para poder eliminar o valor absoluto. Note que:
  • Se |x|<a então a^{2}-x^{2}>0 e \left|a^{2}-x^{2}\right|=a^{2}-x^{2}.
  • Se |x|>a então a^{2}-x^{2}<0 e \left|a^{2}-x^{2}\right|=x^{2}-a^{2}.
    Além disso, a função x\mapsto\left|a^{2}-x^{2}\right| é uma função par (função par = simétrica em relação à origem), então podemos usar simetria para simplificar a integral:
\int_{-2a}^{2a}\left|a^{2}-x^{2}\right|\,\mathrm{d}x =2\int_{0}^{2a}\left|a^{2}-x^{2}\right|\,\mathrm{d}x.

Passo 3

No intervalo 0\le x\le 2a usamos a divisão em subintervalos conforme o ponto x=a onde muda o sinal:
  • Para 0\le x\le a: \left|a^{2}-x^{2}\right|=a^{2}-x^{2}.
  • Para a\le x\le 2a: \left|a^{2}-x^{2}\right|=x^{2}-a^{2}.
    Portanto
\int_{0}^{2a}\left|a^{2}-x^{2}\right|\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{a}(a^{2}-x^{2})\,\mathrm{d}x+\int_{a}^{2a}(x^{2}-a^{2})\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Calcule a primeira integral \displaystyle \int_{0}^{a}(a^{2}-x^{2})\,\mathrm{d}x.
Antiderivada de a^{2}-x^{2} em relação a x é a^{2}x-\dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando de 0 a a:
\int_{0}^{a}(a^{2}-x^{2})\,\mathrm{d}x =\left[a^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a} =a^{2}\cdot a-\frac{a^{3}}{3}-\big(0\big) =a^{3}-\frac{a^{3}}{3}=\frac{2}{3}a^{3}.

Passo 5

Calcule a segunda integral \displaystyle \int_{a}^{2a}(x^{2}-a^{2})\,\mathrm{d}x.
Antiderivada de x^{2}-a^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}-a^{2}x. Avaliando de a a 2a:
\int_{a}^{2a}(x^{2}-a^{2})\,\mathrm{d}x =\left[\frac{x^{3}}{3}-a^{2}x\right]_{a}^{2a}.
Avalia:
  • Em x=2a: \dfrac{(2a)^{3}}{3}-a^{2}(2a)=\dfrac{8a^{3}}{3}-2a^{3}=\left(\frac{8}{3}-2\right)a^{3}=\frac{2}{3}a^{3}.
  • Em x=a: \dfrac{a^{3}}{3}-a^{2}a=\dfrac{a^{3}}{3}-a^{3}=\left(\frac{1}{3}-1\right)a^{3}=-\frac{2}{3}a^{3}.
    Subtraindo:
\int_{a}^{2a}(x^{2}-a^{2})\,\mathrm{d}x =\frac{2}{3}a^{3}-\left(-\frac{2}{3}a^{3}\right)=\frac{4}{3}a^{3}.

Passo 6

Some as duas partes para obter a integral de 0 a 2a:
\int_{0}^{2a}\left|a^{2}-x^{2}\right|\,\mathrm{d}x =\frac{2}{3}a^{3}+\frac{4}{3}a^{3}=2a^{3}.
Usando a simetria do Passo 2, a integral original é
\int_{-2a}^{2a}\left|a^{2}-x^{2}\right|\,\mathrm{d}x =2\cdot\left(2a^{3}\right)=4a^{3}.
Agora igualamos ao valor dado 20:
4a^{3}=20.

Passo 7

Resolva 4a^{3}=20:
a^{3}=\frac{20}{4}=5,
logo
a=\sqrt[3]{5}=5^{1/3}.
Como foi pedido o valor real e positivo, tomamos a raiz cúbica positiva. (A função a\mapsto a^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}, então a solução positiva é única.)

Resposta

\sqrt[3]{5}

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