Os limites de integração dependem de a: de -2a a 2a.
Devemos considerar a>0 (valor real e positivo).
Observação importante (que vamos usar): os zeros da expressão dentro do valor absoluto são as soluções de a^{2}-x^{2}=0, ou seja x=\pm a.
Passo 2
Vamos entender o sinal de a^{2}-x^{2} para poder eliminar o valor absoluto. Note que:
Se |x|<a então a^{2}-x^{2}>0 e \left|a^{2}-x^{2}\right|=a^{2}-x^{2}.
Se |x|>a então a^{2}-x^{2}<0 e \left|a^{2}-x^{2}\right|=x^{2}-a^{2}.
Além disso, a função x\mapsto\left|a^{2}-x^{2}\right| é uma função par (função par = simétrica em relação à origem), então podemos usar simetria para simplificar a integral:
Calcule a primeira integral \displaystyle \int_{0}^{a}(a^{2}-x^{2})\,\mathrm{d}x.
Antiderivada de a^{2}-x^{2} em relação a x é a^{2}x-\dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando de 0 a a:
Calcule a segunda integral \displaystyle \int_{a}^{2a}(x^{2}-a^{2})\,\mathrm{d}x.
Antiderivada de x^{2}-a^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}-a^{2}x. Avaliando de a a 2a:
Como foi pedido o valor real e positivo, tomamos a raiz cúbica positiva. (A função a\mapsto a^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}, então a solução positiva é única.)