QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Uma escada com
de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-o da parede a
, qual a velocidade com que o topo da escada estará deslizando pela parede quando seu pé estiver a
da mesma?
Justifique sua resposta na área quadriculada.
Uma escada com
Justifique sua resposta na área quadriculada.
Passo 1
O enunciado pede a velocidade com que o topo da escada está deslizando pela parede naquele instante. Dados fornecidos:
- Comprimento da escada:
(constante). - Velocidade do pé da escada afastando-se da parede:
(quando o pé está a da parede). - Posição do pé da escada no instante pedido:
. - Variável a encontrar:
no instante em que (onde é a altura do topo da escada na parede).
Observação: o comprimentoé constante porque a escada não muda de tamanho.
Passo 2
Vamos usar uma variável para cada distância: seja
a distância horizontal do pé da parede até o pé da escada, e
a altura do topo da escada na parede. Como a escada, a parede e o chão formam um triângulo retângulo, as medidas satisfazem o Teorema de Pitágoras:
Passo 3
Rápida aula sobre o que usamos: o Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui a hipotenusa é a escada (
) e os catetos são
e
. Como
não muda com o tempo,
é constante na equação acima.
Passo 4
Queremos saber as velocidades (derivadas temporais) das variáveis. Como
e
dependem do tempo, diferenciamos a relação do Pitágoras em relação ao tempo
. Faça a diferenciação termo a termo (implicitamente):
Como
é constante,
. Aplicando a regra da cadeia em
e
(regra: se
,
), obtemos:
Passo 5
Isolamos
para achar a velocidade do topo:
Interpretação da fórmula: a variação de
tem sinal oposto à de
(se o pé se afasta, o topo desce), e a razão
ajusta quantas vezes maior é a mudança vertical em função da horizontal.
Passo 6
Antes de substituir, precisamos do valor de
quando
. Usamos a relação do Pitágoras:
Portanto, no instante pedido,
.
Passo 7
Agora substituímos os valores conhecidos em
Com
,
e
:
O sinal negativo indica que
está diminuindo: o topo da escada está deslizando para baixo.
Passo 8
Checagem rápida de unidade e sentido: a unidade é
, compatível com
. O valor absoluto
faz sentido físico: quando o pé se afasta a
e a escada é relativamente curta, o topo desce rapidamente. Força e foco — você já tem esse tipo de problema dominado agora.