QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Uma escada com 2,5 \mathrm{~m} de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-o da parede a 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual a velocidade com que o topo da escada estará deslizando pela parede quando seu pé estiver a 1,5 \mathrm{~m} da mesma?
Justifique sua resposta na área quadriculada.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade com que o topo da escada está deslizando pela parede naquele instante. Dados fornecidos:
  • Comprimento da escada: \,L=2,5\\ \mathrm{m} (constante).
  • Velocidade do pé da escada afastando-se da parede: \,\dfrac{dx}{dt}=3,0\\ \mathrm{m/s} (quando o pé está a 1,5\\ \mathrm{m} da parede).
  • Posição do pé da escada no instante pedido: \,x=1,5\\ \mathrm{m}.
  • Variável a encontrar: \dfrac{dy}{dt} no instante em que \,x=1,5\\ \mathrm{m} (onde y é a altura do topo da escada na parede).
    Observação: o comprimento L é constante porque a escada não muda de tamanho.

Passo 2

Vamos usar uma variável para cada distância: seja \,x(t) a distância horizontal do pé da parede até o pé da escada, e \,y(t) a altura do topo da escada na parede. Como a escada, a parede e o chão formam um triângulo retângulo, as medidas satisfazem o Teorema de Pitágoras:
x^2+y^2=L^2.

Passo 3

Rápida aula sobre o que usamos: o Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui a hipotenusa é a escada ( L) e os catetos são x e y. Como L não muda com o tempo, L é constante na equação acima.

Passo 4

Queremos saber as velocidades (derivadas temporais) das variáveis. Como x e y dependem do tempo, diferenciamos a relação do Pitágoras em relação ao tempo t. Faça a diferenciação termo a termo (implicitamente):
\frac{d}{dt}(x^2)+\frac{d}{dt}(y^2)=\frac{d}{dt}(L^2).
Como L é constante, \dfrac{d}{dt}(L^2)=0. Aplicando a regra da cadeia em \dfrac{d}{dt}(x^2) e \dfrac{d}{dt}(y^2) (regra: se u=u(t), \dfrac{d}{dt}(u^2)=2u\cdot \dfrac{du}{dt}), obtemos:
2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0.

Passo 5

Isolamos \dfrac{dy}{dt} para achar a velocidade do topo:
2y\frac{dy}{dt}=-2x\frac{dx}{dt}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.
Interpretação da fórmula: a variação de y tem sinal oposto à de x (se o pé se afasta, o topo desce), e a razão \dfrac{x}{y} ajusta quantas vezes maior é a mudança vertical em função da horizontal.

Passo 6

Antes de substituir, precisamos do valor de y quando x=1,5\\ \mathrm{m}. Usamos a relação do Pitágoras:
y=\sqrt{L^2-x^2}=\sqrt{(2,5)^2-(1,5)^2}=\sqrt{6,25-2,25}=\sqrt{4}=2\\ \mathrm{m}.
Portanto, no instante pedido, y=2\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Agora substituímos os valores conhecidos em
\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.
Com x=1,5\\ \mathrm{m}, y=2\\ \mathrm{m} e \dfrac{dx}{dt}=3,0\\ \mathrm{m/s}:
\frac{dy}{dt}=-\frac{1,5}{2}\cdot 3,0 = -0,75\cdot 3,0 = -2,25\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que y está diminuindo: o topo da escada está deslizando para baixo.

Passo 8

Checagem rápida de unidade e sentido: a unidade é \mathrm{m/s}, compatível com \dfrac{dx}{dt}. O valor absoluto 2,25\\ \mathrm{m/s} faz sentido físico: quando o pé se afasta a 3{,}0\\ \mathrm{m/s} e a escada é relativamente curta, o topo desce rapidamente. Força e foco — você já tem esse tipo de problema dominado agora.

Resposta

-2,25\\ \mathrm{m/s}

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