QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Calcule
. Justifique sua resposta.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e observações iniciais:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - O ponto onde o argumento da valor absoluto zera é solução de
, ou seja . Esse ponto é importante porque a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal aí.
Passo 2
Recordando a definição do valor absoluto: para qualquer número real
Aplicando com
no intervalo
, vamos usar a forma
em
e a forma
em
.]
Passo 3
A estratégia é dividir a integral no ponto
onde a definição muda e integrar cada pedaço com a expressão correta. Ou seja,
Essa técnica é padrão: quando a integranda é definida por partes (como um valor absoluto), separamos a integral nos pontos de troca de expressão.
Passo 4
Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de
. Sabendo que a primitiva de
é
e a primitiva de uma constante
é
, uma primitiva de
é
Verificação rápida:
, então está correta. Para
basta usar
como primitiva.
Passo 5
Calculemos a primeira integral:
Agora avalio
nos extremos (tudo em conta passo a passo):
Portanto
Passo 6
Calculemos a segunda integral:
Avalio
:
Já sabemos
do passo anterior. Logo
Passo 7
Somando as duas parcelas calculadas: