QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Calcule \int_{-4}^{4}|x+2| d x. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-4}^{4} |x+2|\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é |x+2|.
  • O intervalo de integração é [-4,4].
  • O ponto onde o argumento da valor absoluto zera é solução de x+2=0, ou seja x=-2. Esse ponto é importante porque a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal aí.

Passo 2

Recordando a definição do valor absoluto: para qualquer número real t\), \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Aplicando com t=x+2\], obtemos a expressão em partes: \[|x+2| = \begin{cases} -(x+2), & \text{se } x<-2,\\[4pt] x+2, & \text{se } x\ge -2. \end{cases}\] Isso significa que, para integrar \(|x+2| no intervalo [-4,4], vamos usar a forma -(x+2) em [-4,-2) e a forma x+2 em [-2,4].]

Passo 3

A estratégia é dividir a integral no ponto x=-2 onde a definição muda e integrar cada pedaço com a expressão correta. Ou seja,
\int_{-4}^{4} |x+2|\,dx = \int_{-4}^{-2} -(x+2)\,dx \;+\; \int_{-2}^{4} (x+2)\,dx.
Essa técnica é padrão: quando a integranda é definida por partes (como um valor absoluto), separamos a integral nos pontos de troca de expressão.

Passo 4

Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de x+2. Sabendo que a primitiva de x é \tfrac{x^{2}}{2} e a primitiva de uma constante 2 é 2x, uma primitiva de x+2 é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}+2x.
Verificação rápida: F'(x)=x+2, então está correta. Para -(x+2) basta usar -F(x) como primitiva.

Passo 5

Calculemos a primeira integral:
\int_{-4}^{-2} -(x+2)\,dx = -\bigg[F(x)\bigg]_{x=-4}^{x=-2}.
Agora avalio F nos extremos (tudo em conta passo a passo):
F(-2)=\frac{(-2)^{2}}{2}+2(-2)=\frac{4}{2}-4=2-4=-2,
F(-4)=\frac{(-4)^{2}}{2}+2(-4)=\frac{16}{2}-8=8-8=0.
Portanto
\int_{-4}^{-2} -(x+2)\,dx = -\big( F(-2)-F(-4)\big) = -\big(-2-0\big)=2.

Passo 6

Calculemos a segunda integral:
\int_{-2}^{4} (x+2)\,dx = \bigg[F(x)\bigg]_{x=-2}^{x=4}.
Avalio F(4):
F(4)=\frac{4^{2}}{2}+2\cdot 4=\frac{16}{2}+8=8+8=16.
Já sabemos F(-2)=-2 do passo anterior. Logo
\int_{-2}^{4} (x+2)\,dx = F(4)-F(-2)=16-(-2)=18.

Passo 7

Somando as duas parcelas calculadas:
\text{Integral total} = 2 + 18.

Resposta

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