QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Dois carros estão caminhando em direção a um cruzamento (ruas perpendiculares), um seguindo a direção leste a uma velocidade de 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e outro seguindo a direção sul a 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a 200 m do cruzamento e o segundo a 150 m ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede a taxa à qual a distância entre os dois carros está mudando (ou seja, quão rápido eles se aproximam) no instante em que um está a 200\\ \mathrm{m} do cruzamento e o outro a 150\\ \mathrm{m}. Informações dadas:
  • Distância do carro que vem da direção leste até o cruzamento: x=200\\ \mathrm{m}.
  • Distância do carro que vem da direção sul até o cruzamento: y=150\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade do carro leste: 100\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade do carro sul: 80\\ \mathrm{km/h}.
    Pergunta: qual é a taxa \dfrac{dz}{dt} no instante indicado, onde z é a distância entre os carros? (Expliquei o que está dado e o que é pedido — a resolução começa no próximo passo.)

Passo 2

Definimos variáveis e sinais de forma clara:
  • Seja x(t) a distância (em metros) do carro que vem do leste até o cruzamento no tempo t.
  • Seja y(t) a distância (em metros) do carro que vem do norte em direção ao sul até o cruzamento no tempo t.
  • Seja z(t) a distância entre os dois carros no tempo t.
    Estamos medindo x e y como distâncias positivas até o cruzamento; como ambos se aproximam do cruzamento, x e y diminuem com o tempo, então \dfrac{dx}{dt}<0 e \dfrac{dy}{dt}<0.
Antes de usar as velocidades, convertê-las para unidades compatíveis com metros e segundos (para trabalhar em \mathrm{m/s}) ou usar quilômetros (para \mathrm{km/h}). Vou mostrar de forma direta usando quilômetros (mais simples nas contas) e também comentar a conversão para \mathrm{m/s} ao final. Convertendo distâncias:
  • x=200\\ \mathrm{m}=0{,}2\\ \mathrm{km}.
  • y=150\\ \mathrm{m}=0{,}15\\ \mathrm{km}.
  • A distância z entre os carros satisfaz a relação do teorema de Pitágoras, porque as ruas são perpendiculares:
z^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Agora diferenciamos a relação z^{2}=x^{2}+y^{2} em relação ao tempo t. Vou explicar a regra usada: quando temos uma função composta como z^{2} (que é z(t) elevado ao quadrado), a derivada em relação a t é obtida aplicando a regra da cadeia: a derivada de z^{2} é 2z multiplicada por \dfrac{dz}{dt}. Fazendo a derivação:
\frac{d}{dt}\big(z^{2}\big)=\frac{d}{dt}\big(x^{2}+y^{2}\big)
2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}.
Dividindo por 2:
z\frac{dz}{dt}=x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}.
Isolando \dfrac{dz}{dt}, que é o que queremos:
\frac{dz}{dt}=\frac{x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}}{z}.
Essa fórmula diz: a taxa de variação da distância entre os carros é a projeção (ponderada por x e y) das velocidades de aproximação, dividida pela distância entre eles.

Passo 4

Agora colocamos os valores numéricos. Vamos trabalhar em \mathrm{km} e \mathrm{km/h} (mais direto): nas unidades de \mathrm{km},
  • x=0{,}2\\ \mathrm{km},
  • y=0{,}15\\ \mathrm{km},
  • as velocidades são \dfrac{dx}{dt}=-100\\ \mathrm{km/h} e \dfrac{dy}{dt}=-80\\ \mathrm{km/h} (sinal negativo porque x e y diminuem).
    Calculamos z em \mathrm{km}:
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(0{,}2)^{2}+(0{,}15)^{2}}=\sqrt{0{,}04+0{,}0225}=\sqrt{0{,}0625}=0{,}25\\ \mathrm{km}.
Agora aplicamos a fórmula:
\frac{dz}{dt}=\frac{0{,}2\cdot(-100)+0{,}15\cdot(-80)}{0{,}25}.
Calcule o numerador passo a passo:
0{,}2\cdot(-100)=-20,
0{,}15\cdot(-80)=-12,
\text{numerador}=-20-12=-32.
Dividindo por 0{,}25:
\frac{dz}{dt}=\frac{-32}{0{,}25}=-128\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Interpretação do sinal e conversão para \mathrm{m/s}:
  • O sinal negativo significa que z está diminuindo: os carros estão se aproximando.
  • Se você prefere \mathrm{m/s}, convertemos -128\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s} multiplicando por \dfrac{1000}{3600}= \dfrac{5}{18}:
-128\\ \mathrm{km/h}\times\frac{1000}{3600}=-128\times\frac{5}{18}=-\frac{640}{18}=-\frac{320}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx-35{,}56\\ \mathrm{m/s}.
Ou seja, a distância entre os carros está diminuindo à taxa \dfrac{dz}{dt}=-\dfrac{320}{9}\\ \mathrm{m/s}, que equivale a -128\\ \mathrm{km/h}. Em termos práticos, se você quiser a “taxa com que eles se aproximam”, costuma-se dar o valor em módulo positivo e dizer que a aproximação ocorre a 128\\ \mathrm{km/h} (ou 35{,}56\\ \mathrm{m/s}), mas matematicamente a derivada é negativa porque a distância diminui.

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=-\dfrac{320}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx-35{,}56\\ \mathrm{m/s}
\dfrac{dz}{dt}=-128\\ \mathrm{km/h}

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