QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Dois carros estão caminhando em direção a um cruzamento (ruas perpendiculares), um seguindo a direção leste a uma velocidade de
e outro seguindo a direção sul a
. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a 200 m do cruzamento e o segundo a 150 m ? Justifique sua resposta.
Dois carros estão caminhando em direção a um cruzamento (ruas perpendiculares), um seguindo a direção leste a uma velocidade de
Passo 1
O enunciado pede a taxa à qual a distância entre os dois carros está mudando (ou seja, quão rápido eles se aproximam) no instante em que um está a
do cruzamento e o outro a
. Informações dadas:
- Distância do carro que vem da direção leste até o cruzamento:
. - Distância do carro que vem da direção sul até o cruzamento:
. - Velocidade do carro leste:
. - Velocidade do carro sul:
.
Pergunta: qual é a taxano instante indicado, onde é a distância entre os carros? (Expliquei o que está dado e o que é pedido — a resolução começa no próximo passo.)
Passo 2
Definimos variáveis e sinais de forma clara:
- Seja
a distância (em metros) do carro que vem do leste até o cruzamento no tempo . - Seja
a distância (em metros) do carro que vem do norte em direção ao sul até o cruzamento no tempo . - Seja
a distância entre os dois carros no tempo .
Estamos medindoe como distâncias positivas até o cruzamento; como ambos se aproximam do cruzamento, e diminuem com o tempo, então e .
Antes de usar as velocidades, convertê-las para unidades compatíveis com metros e segundos (para trabalhar em
) ou usar quilômetros (para
). Vou mostrar de forma direta usando quilômetros (mais simples nas contas) e também comentar a conversão para
ao final. Convertendo distâncias:
-
. -
. - A distância
entre os carros satisfaz a relação do teorema de Pitágoras, porque as ruas são perpendiculares:
Passo 3
Agora diferenciamos a relação
em relação ao tempo
. Vou explicar a regra usada: quando temos uma função composta como
(que é
elevado ao quadrado), a derivada em relação a
é obtida aplicando a regra da cadeia: a derivada de
é
multiplicada por
. Fazendo a derivação:
Dividindo por
:
Isolando
, que é o que queremos:
Essa fórmula diz: a taxa de variação da distância entre os carros é a projeção (ponderada por
e
) das velocidades de aproximação, dividida pela distância entre eles.
Passo 4
Agora colocamos os valores numéricos. Vamos trabalhar em
e
(mais direto): nas unidades de
,
-
, -
, - as velocidades são
e (sinal negativo porque e diminuem).
Calculamosem :
Agora aplicamos a fórmula:
Calcule o numerador passo a passo:
Dividindo por
:
Passo 5
Interpretação do sinal e conversão para
:
- O sinal negativo significa que
está diminuindo: os carros estão se aproximando. - Se você prefere
, convertemos para multiplicando por :
Ou seja, a distância entre os carros está diminuindo à taxa
, que equivale a
. Em termos práticos, se você quiser a “taxa com que eles se aproximam”, costuma-se dar o valor em módulo positivo e dizer que a aproximação ocorre a
(ou
), mas matematicamente a derivada é negativa porque a distância diminui.