QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Justifique sua resposta.
Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{\sqrt[3]{4 x}-2}{x-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\rightarrow 2}\left(\frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}\right).
Informações dadas e o que está explícito no enunciado:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}.
  • O ponto de aproximação é x\to 2.
  • Note que \sqrt[3]{4\cdot 2}= \sqrt[3]{8}=2, então tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x\to 2. Ou seja, temos uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Escolho resolver usando uma identidade algébrica básica (fatoração da diferença de cubos), porque é um método elementar, não exige regras de derivação nem L’Hôpital, e dá uma conta limpa que pode ser feita sem calculadora — ideal para prova. Vou explicar essa identidade antes de aplicá-la, passo a passo.

Passo 3

Lembrete e prova da identidade necessária. Para quaisquer números r e s vale
(r-s)(r^2+rs+s^2)=r^3-s^3.
Isso se verifica multiplicando os termos: r\cdot r^2=r^3, r\cdot rs=r^2s, r\cdot s^2=rs^2, e análogamente para -s que cancela os termos mistos, sobrando r^3-s^3. Agora, colocando r=(4x)^{1/3} e s=8^{1/3} (pois 8=2^3), obtemos a fatoração da diferença de cubos na forma
4x-8 = \big((4x)^{1/3}-8^{1/3}\big)\big((4x)^{2/3}+(4x)^{1/3}8^{1/3}+8^{2/3}\big).
Como 8^{1/3}=2, isso se rearranja para isolar (4x)^{1/3}-2:
(4x)^{1/3}-2 = \frac{4x-8}{(4x)^{2/3}+(4x)^{1/3}\cdot 2 + 8^{2/3}}.

Passo 4

Volto à expressão do limite. Usando a igualdade do passo anterior,
\frac{(4x)^{1/3}-2}{x-2} = \frac{4x-8}{x-2}\cdot\frac{1}{(4x)^{2/3}+(4x)^{1/3}\cdot 2 + 8^{2/3}}.
Agora perceba que
\frac{4x-8}{x-2}=\frac{4(x-2)}{x-2}=4
para x\neq 2. Assim a expressão simplifica para
\frac{(4x)^{1/3}-2}{x-2} = \frac{4}{(4x)^{2/3}+(4x)^{1/3}\cdot 2 + 8^{2/3}}.

Passo 5

Agora faço o limite substituindo x\to 2 na parte que ficou contínua. Quando x\to 2 temos (4x)\to 8, então
(4x)^{2/3}\to 8^{2/3},\qquad (4x)^{1/3}\to 8^{1/3}=2,\qquad 8^{2/3}=(2^3)^{2/3}=2^2=4.
Portanto o denominador tende a
8^{2/3} + 2\cdot 2 + 8^{2/3} = 4 + 4 + 4 = 12.
Logo o limite vale
\lim_{x\rightarrow 2}\left(\frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}\right) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.

Passo 6

Comentário extra (opcional, para fixar): outra forma rápida de ver isso é reconhecer que a expressão é precisamente a definição de derivada no ponto x=2 da função f(x)=(4x)^{1/3}:
\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2).
Calculando f'(x)=\tfrac{1}{3}4^{1/3}x^{-2/3} e avaliando em x=2 \tfrac{1}{3}. Ou, usando L’Hôpital diretamente, diferenciando numerador e denominador, chega-se à mesma conta e ao mesmo resultado \tfrac{1}{3}. Eu usei a fatoração porque é um caminho algébrico simples e seguro para prova.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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