QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Justifique sua resposta.
Calcule o limite:
Justifique sua resposta.
Calcule o limite:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações dadas e o que está explícito no enunciado:
- A expressão a ser analisada é
. - O ponto de aproximação é
. - Note que
, então tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando . Ou seja, temos uma indeterminação do tipo .
Passo 2
Escolho resolver usando uma identidade algébrica básica (fatoração da diferença de cubos), porque é um método elementar, não exige regras de derivação nem L’Hôpital, e dá uma conta limpa que pode ser feita sem calculadora — ideal para prova. Vou explicar essa identidade antes de aplicá-la, passo a passo.
Passo 3
Lembrete e prova da identidade necessária. Para quaisquer números
e
vale
Isso se verifica multiplicando os termos:
,
,
, e análogamente para
que cancela os termos mistos, sobrando
. Agora, colocando
e
(pois
), obtemos a fatoração da diferença de cubos na forma
Como
, isso se rearranja para isolar
:
Passo 4
Volto à expressão do limite. Usando a igualdade do passo anterior,
Agora perceba que
para
. Assim a expressão simplifica para
Passo 5
Agora faço o limite substituindo
na parte que ficou contínua. Quando
temos
, então
Portanto o denominador tende a
Logo o limite vale
Passo 6
Comentário extra (opcional, para fixar): outra forma rápida de ver isso é reconhecer que a expressão é precisamente a definição de derivada no ponto
da função
:
Calculando
e avaliando em
dá
. Ou, usando L’Hôpital diretamente, diferenciando numerador e denominador, chega-se à mesma conta e ao mesmo resultado
. Eu usei a fatoração porque é um caminho algébrico simples e seguro para prova.