QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Sabendo-se que:
g(x)=\operatorname{sen}\left(e^{f(x)}\right), \quad g^{\prime}(0)=\pi, \quad f(0)=\ln (\pi)
Determine o valor de f^{\prime}(0), sendo f^{\prime}(x)=\frac{d f}{d x} e g^{\prime}(x)=\frac{d g}{d x}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Dados fornecidos: g(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(e^{f(x)}\bigr),
g^{\prime}(0)=\pi,
f(0)=\ln(\pi).
  • O que é pedido:
    Determinar o valor de f^{\prime}(0).

Passo 2

Entendimento das funções compostas envolvidas (sem resolver ainda): a função g é uma composição de três “camadas”:
x \mapsto f(x) \mapsto e^{f(x)} \mapsto \operatorname{sen}\!\bigl(e^{f(x)}\bigr).
Quando temos uma composição assim, para calcular a derivada usamos a regra da cadeia. Vou explicar essa regra com calma.

Passo 3

A regra da cadeia (explicação didática):
  • Se temos duas funções compostas h(x)=H(U(x)), a derivada é h'(x)=H'\bigl(U(x)\bigr)\cdot U'(x).Ou seja: derivamos a função externa H avaliando-a na função interna U(x), e multiplicamos pela derivada da função interna U'(x).
  • Exemplo simples para fixar: se h(x)=\sin(x^2), tome H(u)=\sin(u) e U(x)=x^2. Então h'(x)=\cos\bigl(x^2\bigr)\cdot 2x.Aqui usei que \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u) e \frac{d}{dx}x^2=2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia a g(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(e^{f(x)}\bigr):
  • Identificamos camadas:
    • Função externa H(u)=\operatorname{sen}(u).
    • Função do meio U(x)=e^{f(x)}.
    • Função interna V(x)=f(x) (quando precisar derivar U).
  • Derivadas conhecidas:
    • \dfrac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u).
    • \dfrac{d}{dx}e^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot f'(x) (porque derivada de e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada do “algo”).
  • Portanto, pela regra da cadeia em duas etapas: g'(x)=\cos\!\bigl(e^{f(x)}\bigr)\cdot \bigl(e^{f(x)}\cdot f'(x)\bigr).Podemos organizar: g'(x)=\cos\!\bigl(e^{f(x)}\bigr)\, e^{f(x)}\, f'(x).

Passo 5

Agora avaliamos essa expressão em x=0. Substituímos x=0 em cada fator:
  • Usamos o dado f(0)=\ln(\pi).
  • Primeiro calculo e^{f(0)}=e^{\ln(\pi)}=\pi (porque e^{\ln(a)}=a para a>0).
  • Depois calcule \cos\!\bigl(e^{f(0)}\bigr)=\cos(\pi)=-1.
  • Substituindo tudo em g'(0): g'(0)=\cos\!\bigl(e^{f(0)}\bigr)\, e^{f(0)}\, f'(0)=(-1)\cdot \pi \cdot f'(0)=-\pi\, f'(0).

Passo 6

Usamos agora o valor dado de g'(0), que é \pi. Assim temos a equação:
\pi = g'(0) = -\pi\, f'(0).
Dividindo ambos os lados por \pi (podemos dividir porque \pi\neq 0) obtemos
1 = -f'(0).
Isolando f'(0) (multiplicando por -1):
f'(0) = -1.

Resposta

f'(0) = -1

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