QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Sabendo-se que:
Determine o valor de
, sendo
e
.
Sabendo-se que:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Dados fornecidos:
- O que é pedido:
Determinar o valor de.
Passo 2
Entendimento das funções compostas envolvidas (sem resolver ainda): a função
é uma composição de três “camadas”:
Quando temos uma composição assim, para calcular a derivada usamos a regra da cadeia. Vou explicar essa regra com calma.
Passo 3
A regra da cadeia (explicação didática):
- Se temos duas funções compostas
, a derivada é Ou seja: derivamos a função externa avaliando-a na função interna , e multiplicamos pela derivada da função interna . - Exemplo simples para fixar: se
, tome e . Então Aqui usei que e .
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia a
:
- Identificamos camadas:
- Função externa
. - Função do meio
. - Função interna
(quando precisar derivar ).
- Função externa
- Derivadas conhecidas:
-
. -
(porque derivada de é vezes a derivada do “algo”).
-
- Portanto, pela regra da cadeia em duas etapas:
Podemos organizar:
Passo 5
Agora avaliamos essa expressão em
. Substituímos
em cada fator:
- Usamos o dado
. - Primeiro calculo
(porque para ). - Depois calcule
. - Substituindo tudo em
:
Passo 6
Usamos agora o valor dado de
, que é
. Assim temos a equação:
Dividindo ambos os lados por
(podemos dividir porque
) obtemos
Isolando
(multiplicando por
):