QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da curva f(x)=\sqrt{x} ao redor do eixo x, no intervalo x \in[0,4].
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da curva f(x)=\sqrt{x} em torno do eixo x, no intervalo x\in[0,4].
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • Função: f(x)=\sqrt{x}.
  • Eixo de rotação: eixo x.
  • Intervalo de rotação: [0,4].
  • Pedido: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação e justificar o resultado.

Passo 2

Intuição geométrica e ideia do método: imagina cortar o sólido por fatias perpendiculares ao eixo x. Cada fatia, para um x fixo, é aproximadamente um disco (um círculo de área \pi r^2) de espessura muito pequena \mathrm{d}x. O raio desse disco é a altura da curva acima do eixo x, ou seja r=f(x). Então o volume de uma fatia infinitesimal é a área do disco vezes a espessura:
\mathrm{d}V=\pi\bigl(f(x)\bigr)^2\mathrm{d}x.
Essa é a fórmula diferencial do método dos discos (ou discos e anéis). Vou explicar as partes:
  • \mathrm{d}V é um volume infinitesimal (uma fatia fininha).
  • \pi vem da fórmula da área do círculo.
  • \bigl(f(x)\bigr)^2 é o quadrado do raio (porque área é \pi r^2).
  • \mathrm{d}x é a espessura da fatia.
    Para obter o volume total, somamos (integramos) essas fatias de x=0 até x=4.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: como f(x)=\sqrt{x}, temos
\bigl(f(x)\bigr)^2=\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2 = x.
Portanto o elemento de volume fica
\mathrm{d}V=\pi x\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Montamos a integral do volume somando as fatias de 0 a 4:
V=\int_{0}^{4}\pi x\,\mathrm{d}x.
Explicando símbolos:
  • V é o volume total que queremos.
  • O integrando \pi x é a área da seção transversal (o fator \pi constante vezes x).
  • Os limites 0 e 4 são o intervalo dado no enunciado.
    Podemos tirar o \pi fora da integral por ser constante:
V=\pi\int_{0}^{4} x\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Agora calculamos a integral passo a passo. A primitiva de x em relação a x é \dfrac{x^{2}}{2}. Logo
\int_{0}^{4} x\,\mathrm{d}x = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{4} = \frac{4^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}.
Calcule cada termo:
4^{2}=16,\qquad \frac{16}{2}=8,\qquad \frac{0^{2}}{2}=0.
Portanto \displaystyle\int_{0}^{4} x\,\mathrm{d}x = 8.

Passo 6

Voltando ao volume com o fator \pi:
V=\pi\cdot 8.
Interpretação final: o volume do sólido gerado pela rotação de y=\sqrt{x} em torno do eixo x no intervalo [0,4] é 8\pi unidades cúbicas.
Dica rápida para a prova: sempre que a rotação for em torno do eixo x e você cortar por fatias perpendiculares a esse eixo, use o método dos discos — área da seção transversal é \pi[f(x)]^2. Exemplo rápido (para fixar): se girássemos y=x de 0 a 1 em torno do eixo x, o volume seria \pi\int_0^1 x^2\mathrm{d}x=\pi\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi}{3}.
Força aí — já tá no caminho certo!

Resposta

8\pi

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