QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Justifique sua resposta.
Determine a equação da reta tangente à função
no ponto
.
Justifique sua resposta.
Determine a equação da reta tangente à função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente determine a equação da reta tangente a essa função no ponto
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função:
. - O ponto onde queremos a reta tangente:
.
O que precisamos encontrar: - O ponto da curva em
, isto é . - A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
, isto é . - A equação da reta tangente usando o ponto e a inclinação.
Passo 2
Entendendo o que é a derivada e como ela nos dá a inclinação da reta tangente.
- Definição conceitual: a derivada
é o limite da taxa de variação média quando o incremento no tende a zero; ela representa a inclinação da reta tangente à curva no ponto . - Regra que vamos usar: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Para funções comuns:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a variável independente; -
e são funções trigonométricas; -
é a derivada de em relação a (a inclinação em cada ). - Aplicando a regra da soma à nossa função
, temos que calcular a derivada de cada parcela e somar.
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo usando as regras acima.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto,
Passo 4
Avaliar a inclinação no ponto
.
- Substituímos
em :
- Como
, obtemos
Então a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 5
Determinar o ponto de tangência
.
- Calculamos
:
- Como
, segue
Logo o ponto é
.
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando o ponto-slope (ponto-inclinação).
- Fórmula ponto-inclinação: a reta com inclinação
que passa por é dada por
- Aqui
e . Substituindo:
- Simplificando: