QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Justifique sua resposta.
Determine a equação da reta tangente à função f(x)=\cos x+2 x no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\cos x + 2x e pede que a gente determine a equação da reta tangente a essa função no ponto x=0. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função: f(x)=\cos x + 2x.
  • O ponto onde queremos a reta tangente: x=0.
    O que precisamos encontrar:
  • O ponto da curva em x=0, isto é (0,f(0)).
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em x=0, isto é f'(0).
  • A equação da reta tangente usando o ponto e a inclinação.

Passo 2

Entendendo o que é a derivada e como ela nos dá a inclinação da reta tangente.
  • Definição conceitual: a derivada f'(x_0) é o limite da taxa de variação média quando o incremento no x tende a zero; ela representa a inclinação da reta tangente à curva no ponto x_0.
  • Regra que vamos usar: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Para funções comuns: \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x
\frac{d}{dx}(ax) = a\quad\text{(para constante \(a\))}
Aqui cada símbolo significa:
  • x é a variável independente;
  • \cos x e \sin x são funções trigonométricas;
  • f'(x) é a derivada de f em relação a x (a inclinação em cada x).
  • Aplicando a regra da soma à nossa função f(x)=\cos x + 2x, temos que calcular a derivada de cada parcela e somar.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) passo a passo usando as regras acima.
  • Derivada de \cos x é -\sin x.
  • Derivada de 2x é 2.
    Portanto,
f'(x) = -\sin x + 2.

Passo 4

Avaliar a inclinação no ponto x=0.
  • Substituímos x=0 em f'(x):
f'(0) = -\sin 0 + 2.
  • Como \sin 0 = 0, obtemos
f'(0) = 0 + 2 = 2.
Então a inclinação da reta tangente em x=0 é 2.

Passo 5

Determinar o ponto de tangência (0,f(0)).
  • Calculamos f(0):
f(0) = \cos 0 + 2\cdot 0.
  • Como \cos 0 = 1, segue
f(0) = 1 + 0 = 1.
Logo o ponto é (0,1).

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando o ponto-slope (ponto-inclinação).
  • Fórmula ponto-inclinação: a reta com inclinação m que passa por (x_0,y_0) é dada por
y - y_0 = m(x - x_0).
  • Aqui m=f'(0)=2 e (x_0,y_0)=(0,1). Substituindo:
y - 1 = 2(x - 0).
  • Simplificando:
y - 1 = 2x
y = 2x + 1.

Resposta

y=2x+1

Exercícios relacionados