(Valor : 1,0 )-Dê a equação da reta tangente a curva
, no ponto P .
, no ponto
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à curva no ponto dado. Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto de tangência é
. (Note que , por isso a ordenada do ponto é .)
A pergunta concreta: escrever a equação da reta tangente ano ponto .
Passo 2
Conceito-chave: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a uma curva em
é dada pela derivada
. A forma ponto-dependente da reta tangente em
é
Aqui
é a abscissa do ponto de tangência,
é a ordenada,
é a inclinação. Vamos aplicar essa fórmula com
.
Passo 3
Precisamos calcular
. Usamos a regra da cadeia para exponenciais: se
, então
No nosso caso
, portanto
. Assim
Explicando rapidinho: a regra da cadeia diz que ao derivar uma composição você multiplica pela derivada da parte interna (
); a derivada de
é
vezes a derivada desse “algo”.
Passo 4
Agora avaliamos a derivada no ponto
:
Logo a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 5
Usando a fórmula da reta tangente com
,
e
, temos
Substituindo os valores:
Isolando
,
Passo 6
Verificação rápida (sem mistério): a reta
passa por
(pois para
dá
) e tem inclinação
, que é exatamente
. Portanto é mesmo a tangente buscada. Ânimo — pronto!