(Valor : 1,0 )-Dê a equação da reta tangente a curva \mathrm{f}(\mathrm{x}), no ponto P . \mathrm{f}(\mathrm{x})=e^{4 x}, no ponto \mathrm{P}(0,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva no ponto dado. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=e^{4x}.
  • O ponto de tangência é P(0,1). (Note que f(0)=e^{0}=1, por isso a ordenada do ponto é 1.)
    A pergunta concreta: escrever a equação da reta tangente a f no ponto P.

Passo 2

Conceito-chave: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a uma curva em x=a é dada pela derivada f'(a). A forma ponto-dependente da reta tangente em x=a é
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).
Aqui a é a abscissa do ponto de tangência, f(a) é a ordenada, f'(a) é a inclinação. Vamos aplicar essa fórmula com a=0.

Passo 3

Precisamos calcular f'(x). Usamos a regra da cadeia para exponenciais: se f(x)=e^{u(x)}, então
f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.
No nosso caso u(x)=4x, portanto u'(x)=4. Assim
f'(x)=4\,e^{4x}.
Explicando rapidinho: a regra da cadeia diz que ao derivar uma composição você multiplica pela derivada da parte interna ( u'(x)); a derivada de e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada desse “algo”.

Passo 4

Agora avaliamos a derivada no ponto x=0:
f'(0)=4\,e^{4\cdot 0}=4\,e^{0}=4\cdot 1=4.
Logo a inclinação da reta tangente em P é 4.

Passo 5

Usando a fórmula da reta tangente com a=0, f(0)=1 e f'(0)=4, temos
y - f(0)=f'(0)(x-0).
Substituindo os valores:
y-1=4x.
Isolando y,
y=4x+1.

Passo 6

Verificação rápida (sem mistério): a reta y=4x+1 passa por P(0,1) (pois para x=0 y=1) e tem inclinação 4, que é exatamente f'(0). Portanto é mesmo a tangente buscada. Ânimo — pronto!

Resposta

y=4x+1

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