Questão 2 - Cálculo de integrais definidas e indefinidas
10. Resolva integral x^2(x^3+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2(x^3+1)^2,dx
O conteúdo principal aqui é usar integração por substituição, reconhecendo que a derivada de x^3+1 está (até constante) no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^3+1
para simplificar o integrando. Então
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3

Passo 3

Em termos de u, a integral vira
integral x^2(x^3+1)^2,dx = integral 1u^2;du3 = 13integral u^-2,du
Agora usamos a regra de potência para integrar u^-2:
integral u^-2,du = u^-1-1 + C = -u^-1+C
Logo
13integral u^-2,du = 13l(-u^-1r)+C = -13u+C

Passo 4

Voltando à variável x, lembramos que u = x^3+1. Assim a primitiva é
-13,(x^3+1) + C

Resposta

-13,(x^3+1) + C

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