Questão 2 - Cálculo de integrais definidas e indefinidas
9. Calcule g^prime(1) sabendo que g(x)=integralx^x^3 sin (t^2) d t

Passo 1

O enunciado dá
g(x)=integralx^x^3sinl(t^2r),dt
e pede g'(1). O conteúdo aqui é a derivação de uma integral com limites que dependem de x, usando o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia (regra de Leibniz).

Passo 2

Seja
g(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt
A regra de Leibniz diz que
g'(x)=fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)
No nosso caso temos
f(t)=sin(t^2), a(x)=x, b(x)=x^3

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites:
a'(x)=ddx(x)=1, b'(x)=ddx(x^3)=3x^2
Então
fl(b(x)r)=sinl((x^3)^2r)=sin(x^6), fl(a(x)r)=sin(x^2)
Substituindo na fórmula de g'(x), obtemos
g'(x)=3x^2,sin(x^6);-;sin(x^2)

Passo 4

Basta avaliar em x=1:
g'(1)=3cdot1^2sin(1^6);-;sin(1^2) =3sin(1)-sin(1)=2sin(1)

Resposta

2sin(1)

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