(Questão de cálculo) Mostre que as derivadas parciais de ln (det A) fornecem A^-1 !
f(a, b, c, d)=ln (a d-b c) <=va a [ll partial f / partial a & partial f / partial c partial f / partial b & partial f / partial d ]=A^-1

Passo 1

O enunciado define a função
f(a,b,c,d)=ln(ad-bc)
onde a matriz
A=a & b c & d
tem determinante det A = ad - bc. Queremos mostrar que a matriz cujas entradas são as derivadas parciais de f, dispostas como
partial fpartial a & partial fpartial c[6pt] partial fpartial b & partial fpartial d
é exatamente A^-1. Para isso usaremos a regra da cadeia e a fórmula do adjunto para inversa de matriz 2times2.]

Passo 2

Pela regra da cadeia, para cada variável xina,b,c,d temos
partial fpartial x =1ad-bc,partialpartial x(ad - bc)
Agora calculamos as derivadas de ad-bc:
partialpartial a(ad - bc)=d, partialpartial b(ad - bc)=-c, partialpartial c(ad - bc)=-b, partialpartial d(ad - bc)=a

Passo 3

Substituindo no resultado do passo anterior, obtemos
partial fpartial a=dad-bc, partial fpartial b=-cad-bc, partial fpartial c=-bad-bc, partial fpartial d=aad-bc
Logo a matriz das derivadas parciais é
partial fpartial a & partial fpartial c[6pt] partial fpartial b & partial fpartial d =1ad-bc d & -b -,c & a ]

Passo 4

Recordando que, para
,
a inversa é dada por
vemos que a matriz de derivadas parciais coincide exatamente com .

Resposta

A matriz
partial f/partial a & partial f/partial c partial f/partial b & partial f/partial d
é igual a
A^-1

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