(Questão de cálculo) Mostre que as derivadas parciais de
fornecem
!
Passo 1
O enunciado define a função
onde a matriz
tem determinante
. Queremos mostrar que a matriz cujas entradas são as derivadas parciais de
, dispostas como
é exatamente
A^-1 . Para isso usaremos a regra da cadeia e a fórmula do adjunto para inversa de matriz
2times2 .]
Passo 2
Pela regra da cadeia, para cada variável
xina,b,c,d temos
Agora calculamos as derivadas de
ad-bc :
Passo 3
Substituindo no resultado do passo anterior, obtemos
Logo a matriz das derivadas parciais é
Passo 4
Recordando que, para
,
a inversa é dada por
,
a inversa é dada por
vemos que a matriz de derivadas parciais coincide exatamente com
.
Resposta
A matriz
é igual a