O que está errado com esta prova de que matrizes de projeção têm det P=1 ?
P=A(A^T A)^-1 A^T portanto |P|=|A| 1|A^T||A||A^T|=1

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz de projeção ortogonal sobre o espaço coluna de A,
P = A,(A^TA)^-1A^T,
e “prova” que
det P = det A;1det(A^TA);det A^T = det A;1det A^T,det A;det A^T =1
O conteúdo envolvido é: propriedades de determinante e projeções. Precisamos verificar por que esse cálculo dá um resultado impossível quando a projeção não é trivial.

Passo 2

Uma projeção ortogonal não trivial em R^m de posto n<m tem n autovalores iguais a 1 e m-n iguais a 0. Logo P é singular e
det P = 0,
não igual a 1, a menos que n=m (caso em que P=I).

Passo 3

O passo errado está em usar a fórmula
detl(A,(A^TA)^-1A^Tr) =det A;detl((A^TA)^-1r);det A^T,
pois a propriedade det(BC)=det B,det C só vale quando B e C são matrizes quadradas da mesma ordem. Aqui A é mtimes n ( m>n), (A^TA)^-1 é ntimes n e A^T é ntimes m. Nem det A nem det A^T estão definidos quando mneq n.

Passo 4

Além disso, a identidade
det(A^TA)=det A^T,det A
também pressupõe que A seja quadrada. Como A é retangular no caso geral, todas essas igualdades de determinantes não se aplicam.

Resposta

O erro é aplicar propriedades de determinante ( det(BC)=det B,det C e det(A^TA)=det A^T,det A) a matrizes que não são quadradas da mesma ordem.

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