Questão 2 (3.0 ponto) Seja
. Considere os subespaços
e
de
.
(a) Encontre uma base e a dimensão para
;
(b) Encontre
. A soma é direta?
(c)
?
(d)
é um subespaço de
?
(a) Encontre uma base e a dimensão para
(b) Encontre
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado trabalha em
com
Vamos usar parametrização de subespaços, cálculo de interseção e soma, a fórmula
, além de condições de soma direta e teste de subespaço na união.
Passo 2
Parametrizamos
e
:
Como em vale
, um vetor genérico é
Como em
Logo
é base de
e
.
Em temos
e
, dando
Em
Então
é base de
e
.
Passo 3
Para achar
, um vetor em
é
. Em
deve satisfazer
Então
e também
, restando
. Logo
base
e
.
Passo 4
Pela fórmula da dimensão da soma,
Como
, isso implica
.
Para ser soma direta precisaríamos , mas aqui
. Portanto a soma não é direta.
Para ser soma direta precisaríamos
Passo 5
Já vimos que
, respondendo a parte (c): sim.
Passo 6
A união
só seria subespaço se, para quaisquer
em
, tivéssemos
também lá. Tomemos por exemplo
e
.
Então que não satisfaz nem
nem
. Logo a união não é subespaço.
Então
Resposta
(a)
, base
, dimensão
.
(b) , a soma não é direta.
(c) Sim, .
(d) não é subespaço de
.
(b)
(c) Sim,
(d)