Questão 2 (3.0 ponto) Seja V=R^4, F=R. Considere os subespaços W1=(x, y, z, t) ; y-2 z+t= 0 e W2=(x, y, z, t) ; x=t, y=2 z de V.
(a) Encontre uma base e a dimensão para W1 cap W2;
(b) Encontre W1+W2. A soma é direta?
(c) W1+W2=R^4 ?
(d) W1 cup W2 é um subespaço de V ?

Passo 1

O enunciado trabalha em V=R^4 com
W1=(x,y,z,t)mid y-2z+t=0, W2=(x,y,z,t)mid x=t,;y=2z
Vamos usar parametrização de subespaços, cálculo de interseção e soma, a fórmula
dim(W1+W2)=dim W1+dim W2-dim(W1cap W2), além de condições de soma direta e teste de subespaço na união.

Passo 2

Parametrizamos W1 e W2:
Como em W1 vale y=2z-t, um vetor genérico é
(x,y,z,t)=(x,,2z-t,,z,,t) =x,(1,0,0,0)+z,(0,2,1,0)+t,(0,-1,0,1)
Logo
(1,0,0,0),,(0,2,1,0),,(0,-1,0,1)
é base de W1 e dim W1=3.
Em W2 temos x=t e y=2z, dando
(x,y,z,t)=(t,2z,z,t) =t,(1,0,0,1)+z,(0,2,1,0)
Então
(1,0,0,1),,(0,2,1,0)
é base de W2 e dim W2=2.

Passo 3

Para achar W1cap W2, um vetor em W2 é (t,2z,z,t). Em W1 deve satisfazer
y-2z+t=0 Longrightarrow 2z-2z+t=0 Longrightarrow t=0
Então t=0 e também x=t=0, restando (0,2z,z,0)=z,(0,2,1,0). Logo
W1cap W2=,z,(0,2,1,0)mid zinR,
base (0,2,1,0) e dim(W1cap W2)=1.

Passo 4

Pela fórmula da dimensão da soma,
dim(W1+W2) =dim W1+dim W2-dim(W1cap W2) =3+2-1=4
Como dim V=4, isso implica W1+W2=V=R^4.
Para ser soma direta precisaríamos W1cap W2=0, mas aqui dim(W1cap W2)=1neq0. Portanto a soma não é direta.

Passo 5

Já vimos que W1+W2=R^4, respondendo a parte (c): sim.

Passo 6

A união W1cup W2 só seria subespaço se, para quaisquer u,v em W1cup W2, tivéssemos u+v também lá. Tomemos por exemplo
u=(1,0,0,0)in W1setminus W2 e
v=(1,0,0,1)in W2setminus W1.
Então u+v=(2,0,0,1) que não satisfaz nem y-2z+t=0 nem (x=t,y=2z). Logo a união não é subespaço.

Resposta

(a) W1cap W2=z,(0,2,1,0), base (0,2,1,0), dimensão 1.
(b) W1+W2=R^4, a soma não é direta.
(c) Sim, W1+W2=R^4.
(d) W1cup W2 não é subespaço de V.

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