As questões 13-27 usam as regras para calcular determinantes específicos.
27. Verdadeiro ou falso (dê uma razão se verdadeiro ou um exemplo 2 por 2 se falso):
(a) Se A não é inversível então A B não é inversível.
(b) O determinante de A é sempre o produto de seus pivôs.
(c) O determinante de A-B é igual a det A-det B.
(d) A B e B A têm o mesmo determinante.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar quatro afirmações sobre determinantes, dizendo se cada uma é verdadeira (com razão) ou falsa (com um exemplo 2times 2). O conteúdo envolve propriedades de determinante: multiplicatividade, relação com inversibilidade e comportamento sob operações elementares (pivôs).

Passo 2

(a) “Se A não é inversível então AB não é inversível.”
Uma matriz é inversível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Se A não é inversível então det A=0. Como vale a propriedade
det(AB)=det Acdotdet B,
segue det(AB)=0, logo AB também não é inversível. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) “O determinante de A é sempre o produto de seus pivôs.”
Ao fazer eliminação de Gauss para triangularizar A, pivôs obtidos após trocas de linha podem mudar de sinal ou exigir multiplicação por constantes. Se houver troca de duas linhas, cada troca muda o sinal do determinante. Assim, o produto dos pivôs sem ajustar pelo número de trocas não coincide sempre com det A. Por exemplo, considere
A=0 & 11 & 0
Para triangularizar precisamos trocar linha 1 com linha 2, dando pivô ,1 na primeira coluna e depois 1 na segunda, produto dos pivôs 1cdot1=1. Mas det A=-1. Logo a afirmação é falsa (o exemplo mostra pivôs cujo produto não é o determinante).

Passo 4

(c) “ det(A-B)=det A-det B.”
O determinante não é uma função linear em relação à soma ou subtração de matrizes. Basta um exemplo 2times 2. Seja
A=2 & 00 & 1,
B=1 & 00 & 1
Então
A-B=1 & 00 & 0,
det(A-B)=0, enquanto det A-det B=(2cdot1)-(1cdot1)=2-1=1. Como 0neq1, a afirmação é falsa.

Passo 5

(d) “ AB e BA têm o mesmo determinante.”
Usando a propriedade multiplicativa e que números reais comutam, temos
det(AB)=det Acdotdet B e det(BA)=det Bcdotdet A
Como det Acdotdet B=det Bcdotdet A, segue det(AB)=det(BA). Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeiro, pois det(AB)=det Acdotdet B e det A=0 implica det(AB)=0.
(b) Falso. Exemplo: A=l(0&11&0r), pivôs dão produto 1 mas det A=-1.
(c) Falso. Exemplo: A=l(2&00&1r), B=l(1&00&1r) det(A-B)=0 e det A-det B=1.
(d) Verdadeiro, porque det(AB)=det Adet B=det Bdet A=det(BA).

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