As questões 13-27 usam as regras para calcular determinantes específicos.
27. Verdadeiro ou falso (dê uma razão se verdadeiro ou um exemplo 2 por 2 se falso):
(a) Se
não é inversível então
não é inversível.
(b) O determinante de
é sempre o produto de seus pivôs.
(c) O determinante de
é igual a
.
(d)
e
têm o mesmo determinante.
27. Verdadeiro ou falso (dê uma razão se verdadeiro ou um exemplo 2 por 2 se falso):
(a) Se
(b) O determinante de
(c) O determinante de
(d)
Passo 1
O enunciado pede para avaliar quatro afirmações sobre determinantes, dizendo se cada uma é verdadeira (com razão) ou falsa (com um exemplo
). O conteúdo envolve propriedades de determinante: multiplicatividade, relação com inversibilidade e comportamento sob operações elementares (pivôs).
Passo 2
(a) “Se
não é inversível então
não é inversível.”
Uma matriz é inversível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Se não é inversível então
. Como vale a propriedade
Uma matriz é inversível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Se
segue
, logo
também não é inversível. Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 3
(b) “O determinante de
é sempre o produto de seus pivôs.”
Ao fazer eliminação de Gauss para triangularizar , pivôs obtidos após trocas de linha podem mudar de sinal ou exigir multiplicação por constantes. Se houver troca de duas linhas, cada troca muda o sinal do determinante. Assim, o produto dos pivôs sem ajustar pelo número de trocas não coincide sempre com
. Por exemplo, considere
Ao fazer eliminação de Gauss para triangularizar
Para triangularizar precisamos trocar linha
com linha
, dando pivô
na primeira coluna e depois
na segunda, produto dos pivôs
. Mas
. Logo a afirmação é falsa (o exemplo mostra pivôs cujo produto não é o determinante).
Passo 4
(c) “
.”
O determinante não é uma função linear em relação à soma ou subtração de matrizes. Basta um exemplo . Seja
O determinante não é uma função linear em relação à soma ou subtração de matrizes. Basta um exemplo
Então
Passo 5
(d) “
e
têm o mesmo determinante.”
Usando a propriedade multiplicativa e que números reais comutam, temos
Usando a propriedade multiplicativa e que números reais comutam, temos
Como
, segue
. Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeiro, pois
e
implica
.
(b) Falso. Exemplo: , pivôs dão produto
mas
.
(c) Falso. Exemplo: ,
dá
e
.
(d) Verdadeiro, porque .
(b) Falso. Exemplo:
(c) Falso. Exemplo:
(d) Verdadeiro, porque