Questão 4.
Calculo o volumem do paralelepípedo determinado pelos vetores, u=(1,4,-2), v= (3,-1,1) e w=(1,2,2)

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u,v,w em R^3. O volume V é dado pelo valor absoluto do produto misto (ou triplo escalar)
V = l|ucdot(vtimesw)r|
Para resolver, vamos (i) calcular o produto vetorial vtimesw e depois (ii) o produto escalar de u com esse resultado.

Passo 2

Calcular vtimesw usando a fórmula coordenada a coordenada:
vtimesw =(v2w3 - v3w2,; v3w1 - v1w3,; v1w2 - v2w1)
Aqui v=(3,-1,1) e w=(1,2,2), então
vtimesw =l((-1)cdot2 - 1cdot2,; 1cdot1 - 3cdot2,; 3cdot2 - (-1)cdot1r) =(-4,,-5,,7)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar ucdot(vtimesw). Como u=(1,4,-2) e vtimesw=(-4,-5,7),
ucdot(vtimesw) =1cdot(-4) + 4cdot(-5) + (-2)cdot7 =-4 -20 -14 =-38

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse resultado:
V = l|,-38,r| = 38

Resposta

O volume do paralelepípedo é 38.

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