Quais são as principais formas de representação algébrica de uma reta no plano?

Passo 1

O enunciado pede para listar as principais maneiras de escrever, de forma algébrica, uma reta no plano. O conteúdo é geometria analítica, e vamos precisar conhecer conceitos como coeficiente angular, vetores de direção e distância ponto–reta para montar cada forma.

Passo 2

Uma das formas mais usadas é a forma explícita (ou inclinada), em que a reta é escrita isolando y em função de x. Ela é
y = m,x + n
onde m é o coeficiente angular (inclinação) e n é o coeficiente linear (interseção com o eixo y).

Passo 3

A forma geral é mais simétrica e agrupa todos os termos num só lado. Escreve-se
a,x + b,y + c = 0
com a,b,cinR e (a,b)neq(0,0). Dela derivam várias outras representações, basta escolher a,b,c conforme a reta desejada.

Passo 4

A forma segmentária expressa a reta em função dos pontos onde ela corta os eixos. Se ela intercepta o eixo x em ,(a,0) e o eixo y em ,(0,b), então
xa + yb = 1
funciona desde que aneq0 e bneq0.

Passo 5

A reta também pode ser descrita por um ponto e um vetor de direção, levando às formas paramétrica, contínua e vetorial:
- Paramétrica:
x = x0 + a,t, y = y0 + b,t
onde ,(x0,y0) é ponto dado, (a,b) é vetor diretor e tinR.
- Contínua (ou simétrica):
x - x0a = y - y0b
desde que aneq0 e bneq0.
- Vetorial:
vec r = vec r0 + t,vec v
com vec r = (x,y), vec r0=(x0,y0) e vec v=(a,b).

Passo 6

Por fim, a forma normal usa o ângulo alpha que a reta faz com o eixo x e a distância p da reta à origem. Escreve-se
xcosalpha + ysinalpha = p
onde cosalpha e sinalpha vêm de um vetor normal unitário à reta.

Resposta

Forma explícita:
y = m,x + n
Forma geral:
a,x + b,y + c = 0
Forma segmentária:
xa + yb = 1
Formas paramétrica, contínua e vetorial:
x = x0 + a,t, y = y0 + b,t
x - x0a = y - y0b
vec r = vec r0 + t,vec v
Forma normal:
xcosalpha + ysinalpha = p

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