Supondo que um engenheiro projete um modelo de carro na escala de 1/5 (relação entre o comprimento do modelo e do protótipo). Para garantir que o modelo e o protótipo apresentem semelhança dinâmica (isto é, que as forças atuem da mesma forma), o número de Reynolds deve ser o mesmo para ambos.
Se o carro real (protótipo) viaja a
, o modelo teria que ser testado a
. Isso assegura que as forças geradas no túnel de vento sejam uma réplica perfeita e em escala das forças geradas pelo movimento do carro em um ambiente real.
Nota. É necessário alterar a massa específica do ar ou a viscosidade do ar.
Se o carro real (protótipo) viaja a
Nota. É necessário alterar a massa específica do ar ou a viscosidade do ar.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede (peguei estes dados do enunciado):
- Escala do modelo:
. Ou seja, . - Velocidade do protótipo:
. - Afirmação a verificar: para garantir semelhança dinâmica (mesmo número de Reynolds), o modelo teria que ser testado a
. - Observação do enunciado: pode ser necessário alterar a massa específica do ar (densidade
) ou a viscosidade do ar ( ) para obter simulação correta.
O que precisamos mostrar passo a passo:
- Definir o número de Reynolds e suas variáveis.
- Deduzir a relação entre
e quando se exige . - Verificar numericamente se
segue daquelas premissas (e quais premissas). - Explicar alternativas: como variar
ou (ou a cinemática ) para evitar velocidades tão altas. - Comentar limitações práticas (compressibilidade, Mach, rugosidade, etc.) que também devem ser consideradas.
Passo 2
O que é o número de Reynolds e suas variáveis (aulas mastigadas):
- O número de Reynolds é uma quantidade adimensional que mede a razão entre forças inerciais e forças viscosas no escoamento. Ele controla, por exemplo, se o escoamento tende a ser laminar ou turbulento e influencia forças como arrasto e sustentação.
- A definição convencional para um corpo em um fluxo homogêneo é
onde:
-
é a massa específica (densidade) do fluido, em ; -
é a velocidade característica do escoamento relativa ao corpo, em ; -
é uma dimensão linear característica do corpo (comprimento, por exemplo), em ; -
é a viscosidade dinâmica do fluido, em (ou ). - Alternativamente usa-se a viscosidade cinemática
e então
Explicação simples: se dois escoamentos têm o mesmo
(e geometria semelhante), as estruturas dimensionais do escoamento (camada limite, transição, partes dominantes do arrasto) tendem a ser parecidas em escala.
Passo 3
Equação de semelhança para protótipo e modelo e dedução algébrica:
- Para protótipo:
- Para modelo:
- Para semelhança dinâmica exige-se
. Assim:
- Rearranjando para
:
- Em termos da viscosidade cinemática
a relação fica mais simples:
Comentário sobre interpretação: as variáveis
e
(ou
) referem-se às propriedades do fluido no túnel de vento (modelo) e na condição real (protótipo). Se o mesmo fluido, nas mesmas condições (pressão/temperatura), é usado em ambos os casos, então
e
, logo
.
Passo 4
Aplicando aos números dados assumindo o mesmo ar (mesmas propriedades
):
- Como a escala é
, tem-se . - Se
e , então e . Da fórmula do Passo 3:
- Substituindo
:
Conversão para ter uma sensação física (faça na prova também):
-
. -
.
Portanto, matematicamente e sob a hipótese de que o fluido no túnel tem as mesmas propriedades do ar ambiente, a conclusão do enunciado está correta: para manter o mesmo
com escala
seria preciso testar o modelo a
.
Passo 5
Se quisermos testar o modelo a uma velocidade menor, o que precisa mudar? (explicação prática usando a fórmula)
- A relação geral (do Passo 3) é
- Para reduzir
sem mudar a escala (fixo ), é necessário reduzir em relação a . Ou seja: - reduzir
pode ser feito aumentando (pressurizar o túnel) ou diminuindo (usar um fluido mais «fino»), ou uma combinação dos dois.
- reduzir
- Exemplo numérico: se se deseja
em vez de ,
Substituindo
,
,
:
Ou seja, teria que reduzir a viscosidade cinemática do fluido no túnel em um fator
. Mantendo
aproximadamente constante, isso equivale a aumentar a densidade em um fator
— algo que exigiria pressurizar o túnel a pressões muito altas ou usar um gás muito mais denso. Alternativamente poderia escolher um fluido com
bem menor (mas aí outros problemas surgem).
Passo 6
Limitações práticas e outros números adimensionais que importam (aula importante para a prova)
- Mesmo que
seja igual, pode não ser suficiente para garantir «réplica perfeita» das forças: - Mach number:
(onde é velocidade do som). A temos moderado; se no túnel o difere muito do protótipo, efeitos compressíveis mudam as forças. Para modelos em alta velocidade costuma-se exigir correspondência de Mach para resultados de arrasto compressível. - Rugosidade relativa da superfície: transição laminar/turbulenta depende também da rugosidade não escalada. Em modelos em escala menor, rugosidade absoluta (em mm) pode representar um efeito maior.
- Forças gravitacionais / Froude: para problemas com gravidade (ondas, escoamentos livres), outro número adimensional aparece.
- Efeito térmico: temperatura afeta
e .
- Mach number:
- Conclusão prática: em túneis de baixa velocidade costuma-se usar pressurização ou gases especiais (ex.: usar ar pressurizado ou gases com
diferente) para alcançar realistas sem exigir velocidades absurdas; ou aceita-se uma correspondência parcial e corrige-se com modelos numéricos.
Passo 7
Resumo prático do que fazer na prova (pequena receita):
- Escreva
. - Para escala
e exigir obtenha
- Se
(mesmo fluido, mesmas condições) então . Para isto dá . - Se não se quer
tão grande, altere (aumentando ou diminuindo ) para reduzir .
Resposta
Sim — assumindo que o fluido no túnel tem as mesmas propriedades (
e
), a condição
com escala
implica
, logo
quando
.
Para testar o modelo a velocidades mais baixas é necessário alterar as propriedades do fluido no túnel (aumentar e/ou diminuir
, isto é, reduzir a viscosidade cinemática
), além de verificar outras condições de semelhança como o número de Mach e efeitos de rugosidade.
Para testar o modelo a velocidades mais baixas é necessário alterar as propriedades do fluido no túnel (aumentar