Supondo que um engenheiro projete um modelo de carro na escala de 1/5 (relação entre o comprimento do modelo e do protótipo). Para garantir que o modelo e o protótipo apresentem semelhança dinâmica (isto é, que as forças atuem da mesma forma), o número de Reynolds deve ser o mesmo para ambos.
Se o carro real (protótipo) viaja a 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, o modelo teria que ser testado a 500 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Isso assegura que as forças geradas no túnel de vento sejam uma réplica perfeita e em escala das forças geradas pelo movimento do carro em um ambiente real.
Nota. É necessário alterar a massa específica do ar ou a viscosidade do ar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede (peguei estes dados do enunciado):
  • Escala do modelo: \dfrac{L_{\text{modelo}}}{L_{\text{protótipo}}}=\dfrac{1}{5}ó. Ou seja, L_{\text{modelo}}=\dfrac{1}{5}L_{\text{protótipo}}ó.
  • Velocidade do protótipo: U_{\text{protótipo}}=100\\ \mathrm{km/h}ó.
  • Afirmação a verificar: para garantir semelhança dinâmica (mesmo número de Reynolds), o modelo teria que ser testado a 500\\ \mathrm{km/h}.
  • Observação do enunciado: pode ser necessário alterar a massa específica do ar (densidade \rho) ou a viscosidade do ar ( \mu) para obter simulação correta.
O que precisamos mostrar passo a passo:
  • Definir o número de Reynolds e suas variáveis.
  • Deduzir a relação entre U_{\text{modelo}} e U_{\text{protótipo}}ó quando se exige Re_{\text{modelo}}=Re_{\text{protótipo}}ó.
  • Verificar numericamente se U_{\text{modelo}}=500\\ \mathrm{km/h} segue daquelas premissas (e quais premissas).
  • Explicar alternativas: como variar \rho ou \mu (ou a cinemática \nu=\mu/\rho) para evitar velocidades tão altas.
  • Comentar limitações práticas (compressibilidade, Mach, rugosidade, etc.) que também devem ser consideradas.

Passo 2

O que é o número de Reynolds e suas variáveis (aulas mastigadas):
  • O número de Reynolds é uma quantidade adimensional que mede a razão entre forças inerciais e forças viscosas no escoamento. Ele controla, por exemplo, se o escoamento tende a ser laminar ou turbulento e influencia forças como arrasto e sustentação.
  • A definição convencional para um corpo em um fluxo homogêneo é
Re=\dfrac{\rho\,U\,L}{\mu},
onde:
  • \rho é a massa específica (densidade) do fluido, em \mathrm{kg/m^3};
  • U é a velocidade característica do escoamento relativa ao corpo, em \mathrm{m/s};
  • L é uma dimensão linear característica do corpo (comprimento, por exemplo), em \mathrm{m};
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido, em \mathrm{Pa\cdot s} (ou \mathrm{kg/(m\cdot s)}).
  • Alternativamente usa-se a viscosidade cinemática \nu=\dfrac{\mu}{\rho} e então
Re=\dfrac{U\,L}{\nu}.
Explicação simples: se dois escoamentos têm o mesmo Re (e geometria semelhante), as estruturas dimensionais do escoamento (camada limite, transição, partes dominantes do arrasto) tendem a ser parecidas em escala.

Passo 3

Equação de semelhança para protótipo e modelo e dedução algébrica:
  • Para protótipo:
Re_p=\dfrac{\rho_p\,U_p\,L_p}{\mu_p}.
  • Para modelo:
Re_m=\dfrac{\rho_m\,U_m\,L_m}{\mu_m}.
  • Para semelhança dinâmica exige-se Re_m=Re_p. Assim:
\dfrac{\rho_m\,U_m\,L_m}{\mu_m}=\dfrac{\rho_p\,U_p\,L_p}{\mu_p}.
  • Rearranjando para U_m:
U_m = U_p\; \frac{\rho_p}{\rho_m}\; \frac{\mu_m}{\mu_p}\; \frac{L_p}{L_m}.
  • Em termos da viscosidade cinemática \nu=\dfrac{\mu}{\rho} a relação fica mais simples:
U_m = U_p\; \frac{L_p}{L_m}\; \frac{\nu_m}{\nu_p}.
Comentário sobre interpretação: as variáveis \rho e \mu (ou \nu) referem-se às propriedades do fluido no túnel de vento (modelo) e na condição real (protótipo). Se o mesmo fluido, nas mesmas condições (pressão/temperatura), é usado em ambos os casos, então \rho_m=\rho_p e \mu_m=\mu_p, logo \nu_m=\nu_p.

Passo 4

Aplicando aos números dados assumindo o mesmo ar (mesmas propriedades \rho,\mu):
  • Como a escala é \dfrac{L_m}{L_p}=\dfrac{1}{5}, tem-se \dfrac{L_p}{L_m}=5.
  • Se \rho_m=\rho_p e \mu_m=\mu_p, então \dfrac{\rho_p}{\rho_m}=1 e \dfrac{\mu_m}{\mu_p}=1. Da fórmula do Passo 3:
U_m = U_p \frac{L_p}{L_m} = U_p \cdot 5.
  • Substituindo U_p=100\\ \mathrm{km/h}:
U_m = 100\\ \mathrm{km/h}\times 5 = 500\\ \mathrm{km/h}.
Conversão para ter uma sensação física (faça na prova também):
  • 100\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{100000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}} = 27,78\\ \mathrm{m/s}.
  • 500\\ \mathrm{km/h} = 5\times27,78\\ \mathrm{m/s} = 138,89\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, matematicamente e sob a hipótese de que o fluido no túnel tem as mesmas propriedades do ar ambiente, a conclusão do enunciado está correta: para manter o mesmo Re com escala 1/5 seria preciso testar o modelo a 500\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Se quisermos testar o modelo a uma velocidade menor, o que precisa mudar? (explicação prática usando a fórmula)
  • A relação geral (do Passo 3) é
U_m = U_p\; \frac{L_p}{L_m}\; \frac{\nu_m}{\nu_p}.
  • Para reduzir U_m sem mudar a escala (fixo L_p/L_m=5), é necessário reduzir \nu_m em relação a \nu_p. Ou seja:
    • reduzir \nu_m=\dfrac{\mu_m}{\rho_m} pode ser feito aumentando \rho_m (pressurizar o túnel) ou diminuindo \mu_m (usar um fluido mais «fino»), ou uma combinação dos dois.
  • Exemplo numérico: se se deseja U_m=20\\ \mathrm{km/h} em vez de 500\\ \mathrm{km/h},
\frac{U_m}{U_p} = \frac{L_p}{L_m}\frac{\nu_m}{\nu_p} \quad\Rightarrow\quad \frac{\nu_m}{\nu_p}=\frac{U_m}{U_p}\frac{L_m}{L_p}.
Substituindo U_m=20, U_p=100, L_p/L_m=5:
\frac{\nu_m}{\nu_p}=\frac{20}{100}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{25}.
Ou seja, teria que reduzir a viscosidade cinemática do fluido no túnel em um fator 25. Mantendo \mu aproximadamente constante, isso equivale a aumentar a densidade em um fator 25 — algo que exigiria pressurizar o túnel a pressões muito altas ou usar um gás muito mais denso. Alternativamente poderia escolher um fluido com \nu bem menor (mas aí outros problemas surgem).

Passo 6

Limitações práticas e outros números adimensionais que importam (aula importante para a prova)
  • Mesmo que Re seja igual, pode não ser suficiente para garantir «réplica perfeita» das forças:
    • Mach number: Ma=\dfrac{U}{c} (onde c é velocidade do som). A 500\\ \mathrm{km/h} temos Ma moderado; se no túnel o Ma difere muito do protótipo, efeitos compressíveis mudam as forças. Para modelos em alta velocidade costuma-se exigir correspondência de Mach para resultados de arrasto compressível.
    • Rugosidade relativa da superfície: transição laminar/turbulenta depende também da rugosidade não escalada. Em modelos em escala menor, rugosidade absoluta (em mm) pode representar um efeito maior.
    • Forças gravitacionais / Froude: para problemas com gravidade (ondas, escoamentos livres), outro número adimensional aparece.
    • Efeito térmico: temperatura afeta \mu e \rho.
  • Conclusão prática: em túneis de baixa velocidade costuma-se usar pressurização ou gases especiais (ex.: usar ar pressurizado ou gases com \nu diferente) para alcançar Re realistas sem exigir velocidades absurdas; ou aceita-se uma correspondência parcial e corrige-se com modelos numéricos.

Passo 7

Resumo prático do que fazer na prova (pequena receita):
  1. Escreva Re=\dfrac{U L}{\nu}.
  2. Para escala \lambda=\dfrac{L_m}{L_p} e exigir Re_m=Re_p obtenha
U_m = U_p\; \frac{1}{\lambda}\; \frac{\nu_m}{\nu_p}.
  1. Se \nu_m=\nu_p (mesmo fluido, mesmas condições) então U_m = U_p/\lambda. Para \lambda=1/5 isto dá U_m=5U_p.
  2. Se não se quer U_m tão grande, altere \nu_m (aumentando \rho_m ou diminuindo \mu_m) para reduzir U_m.

Resposta

Sim — assumindo que o fluido no túnel tem as mesmas propriedades ( \rho_m=\rho_p e \mu_m=\mu_p), a condição Re_m=Re_p com escala L_m=L_p/5 implica U_m=5U_p, logo U_m=500\\ \mathrm{km/h} quando U_p=100\\ \mathrm{km/h}.
Para testar o modelo a velocidades mais baixas é necessário alterar as propriedades do fluido no túnel (aumentar \rho e/ou diminuir \mu, isto é, reduzir a viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho), além de verificar outras condições de semelhança como o número de Mach e efeitos de rugosidade.

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