5 ª Questão

O campo elétrico sobre a superfície de um condutor de formato irregular varia entre 28,0 \mathrm{kN} / \mathrm{C} e 56,0 \mathrm{kN} / \mathrm{C}. Calcule a densidade local de carga por unidade de área no ponto sobre a superfície onde o raio de curvatura é (a) máximo e (b) mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade local de carga por unidade de área (isto é, a carga superficial \sigma) em dois pontos da superfície de um condutor irregular:
  • (a) no ponto onde o raio de curvatura é máximo;
  • (b) no ponto onde o raio de curvatura é mínimo.
Informações dadas:
E_{\min}=28,0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{C}=28,0\times10^{3}\\ \mathrm{N}/\mathrm{C},
E_{\max}=56,0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{C}=56,0\times10^{3}\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}.
(O enunciado informa que o campo elétrico sobre a superfície varia entre esses dois valores; não foram dados outros números.)

Passo 2

Qual é a relação entre campo elétrico na superfície e a densidade superficial de carga? Vou ensinar isso passo a passo como se estivéssemos na prova.
Considere um pequeno “pílula” gaussiana que atravessa a superfície do condutor: uma caixa achatada com uma face externa (fora do condutor) e a face oposta dentro do condutor. Em eletrostática ideal:
  • o campo elétrico dentro do condutor é \,0😉
  • logo fora do condutor, o campo é praticamente normal à superfície e tem módulo E_{\text{fora}}.
Aplicando a Lei de Gauss ao pílula:
\varepsilon_0 \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{enc}}.
A contribuição de fluxo das faces laterais é desprezível se a pílula for pequena; o fluxo relevante é só pela face exterior, cujo fluxo é E_{\text{fora}} A. A carga encerrada é a carga superficial numa área A, ou seja \sigma A. Portanto:
\varepsilon_0 E_{\text{fora}} A = \sigma A.
Cancelando A obtemos a fórmula prática:
\sigma = \varepsilon_0 E_{\text{fora}}.
Aqui:
  • \sigma é a densidade superficial de carga em \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2};
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, cujo valor numérico que usaremos é \varepsilon_0=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m} (ou \mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2));
  • E_{\text{fora}} é o módulo do campo elétrico imediatamente fora da superfície, em \mathrm{N}/\mathrm{C}.

Passo 3

Conexão com curvatura (para você entender por que nos pediram “raio de curvatura”): pontos com raio de curvatura pequeno (ponta afiada) têm campo maior; pontos com raio grande (mais “achatados”) têm campo menor. Assim, do enunciado:
  • o ponto onde o raio de curvatura é máximo corresponde ao campo mínimo \,E=28,0\times10^{3}\\ \mathrm{N}/\mathrm{C};
  • o ponto onde o raio de curvatura é mínimo corresponde ao campo máximo \,E=56,0\times10^{3}\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}.
Agora aplicamos a fórmula \sigma=\varepsilon_0 E a cada caso.

Passo 4

Cálculo para o ponto onde o raio de curvatura é máximo (campo mínimo).
Usamos
\sigma=\varepsilon_0 E.
Substituindo \varepsilon_0=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m} e E=28,0\times10^{3}\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}:
\sigma = \bigl(8,85\times10^{-12}\bigr)\times\bigl(28,0\times10^{3}\bigr)\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Façamos a conta em etapas:
8,85\times28,0 = 247,8,
e os expoentes dão 10^{-12}\times10^{3}=10^{-9}. Logo
\sigma = 247,8\times10^{-9}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}=2,48\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Em unidades alternativas:
\sigma = 2,48\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}=248\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}=0,248\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Cálculo para o ponto onde o raio de curvatura é mínimo (campo máximo).
Mesma fórmula, agora com E=56,0\times10^{3}\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}:
\sigma = \bigl(8,85\times10^{-12}\bigr)\times\bigl(56,0\times10^{3}\bigr)\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Cálculo:
8,85\times56,0 = 495,6,
e os expoentes dão 10^{-9} como antes. Assim
\sigma = 495,6\times10^{-9}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}=4,96\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Em outras unidades:
\sigma = 4,96\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}=496\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}=0,496\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Checagem rápida e interpretação:
  • Quando o campo dobra (de 28,0 para 56,0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{C}), a densidade superficial \sigma também dobra — porque \sigma é diretamente proporcional a E.
  • Os valores estão coerentes com a ideia física: pontos mais pontiagudos (menor raio) acumulam mais carga superficial.

Resposta

(a) \sigma=2,48\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}=248\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}.
(b) \sigma=4,96\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}=496\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}.

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