5 ª Questão
O campo elétrico sobre a superfície de um condutor de formato irregular varia entre 28,0
e
. Calcule a densidade local de carga por unidade de área no ponto sobre a superfície onde o raio de curvatura é (a) máximo e (b) mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a densidade local de carga por unidade de área (isto é, a carga superficial
) em dois pontos da superfície de um condutor irregular:
- (a) no ponto onde o raio de curvatura é máximo;
- (b) no ponto onde o raio de curvatura é mínimo.
Informações dadas:
(O enunciado informa que o campo elétrico sobre a superfície varia entre esses dois valores; não foram dados outros números.)
Passo 2
Qual é a relação entre campo elétrico na superfície e a densidade superficial de carga? Vou ensinar isso passo a passo como se estivéssemos na prova.
Considere um pequeno “pílula” gaussiana que atravessa a superfície do condutor: uma caixa achatada com uma face externa (fora do condutor) e a face oposta dentro do condutor. Em eletrostática ideal:
- o campo elétrico dentro do condutor é
😉 - logo fora do condutor, o campo é praticamente normal à superfície e tem módulo
.
Aplicando a Lei de Gauss ao pílula:
A contribuição de fluxo das faces laterais é desprezível se a pílula for pequena; o fluxo relevante é só pela face exterior, cujo fluxo é
. A carga encerrada é a carga superficial numa área
, ou seja
. Portanto:
Cancelando
obtemos a fórmula prática:
Aqui:
-
é a densidade superficial de carga em ; -
é a permissividade do vácuo, cujo valor numérico que usaremos é (ou ); -
é o módulo do campo elétrico imediatamente fora da superfície, em .
Passo 3
Conexão com curvatura (para você entender por que nos pediram “raio de curvatura”): pontos com raio de curvatura pequeno (ponta afiada) têm campo maior; pontos com raio grande (mais “achatados”) têm campo menor. Assim, do enunciado:
- o ponto onde o raio de curvatura é máximo corresponde ao campo mínimo
; - o ponto onde o raio de curvatura é mínimo corresponde ao campo máximo
.
Agora aplicamos a fórmula
a cada caso.
Passo 4
Cálculo para o ponto onde o raio de curvatura é máximo (campo mínimo).
Usamos
Substituindo
e
:
Façamos a conta em etapas:
e os expoentes dão
. Logo
Em unidades alternativas:
Passo 5
Cálculo para o ponto onde o raio de curvatura é mínimo (campo máximo).
Mesma fórmula, agora com
:
Cálculo:
e os expoentes dão
como antes. Assim
Em outras unidades:
Passo 6
Checagem rápida e interpretação:
- Quando o campo dobra (de
para ), a densidade superficial também dobra — porque é diretamente proporcional a . - Os valores estão coerentes com a ideia física: pontos mais pontiagudos (menor raio) acumulam mais carga superficial.
Resposta
(a)
(b)
(b)