QUESTÃO 1: O campo magnético de uma onda eletromagnética plana é descrito por
\vec{B}=B_{0} \operatorname{sen}\left[(10 \mathrm{rad} / \mathrm{m}) y+\left(3 \times 10^{9} \mathrm{rad} / \mathrm{s}\right) t\right] \hat{k}
onde \hat{k} é o vetor unitário na direção z. Os vetores unitários nas direções x e y são \hat{\imath} e \hat{\jmath}, respectivamente.
a) Calcule o comprimento de onda \lambda da onda.
b) Calcule o período T da onda.
c) Em qual direção e sentido essa onda se propaga? Justifique.
d) Escreva a expressão para o vetor campo elétrico \vec{E} associado a esse campo magnético. Dê sua resposta em termos de c, B_{0} e \mu_{0}.
e) Escreva a expressão para o vetor de Poynting associado à essa onda eletromagnética. Dê sua resposta em termos de c, B_{0} e \mu_{0}.
f) Considere este campo eletromagnético refletindo elasticamente em uma determinada superfície. Calcule a pressão de radiação exercida nesta superfície em termos da velocidade da luz c, B_{0} e \mu_{0}.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei os dados do enunciado):
  • Campo magnético fornecido:
\vec{B}=B_{0}\,\sin\!\left[(10\\ \mathrm{rad/m})\,y+\bigl(3\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}\bigr)\,t\right]\hat{k}.
  • Vetores unitários: \hat{\imath} em x, \hat{\jmath} em y, \hat{k} em z.
  • Quantidades extraídas do enunciado:
    • número de onda k=10\\ \mathrm{rad/m},
    • frequência angular \omega=3\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
      O que o enunciado pede:
      a) comprimento de onda \lambda;\n
      b) período T;\n
      c) direção e sentido de propagação (com justificativa);\n
      d) expressão do campo elétrico \vec{E} associado (em termos de c,B_0,\mu_0);\n
      e) expressão do vetor de Poynting \vec{S} (em termos de c,B_0,\mu_0);\n
      f) pressão de radiação sobre uma superfície com reflexão elástica (em termos de c,B_0,\mu_0).

Passo 2

Calcular o comprimento de onda \lambda.
Explicação curta da fórmula: para uma onda senoidal com número de onda k (em \mathrm{rad/m}), o comprimento de onda \lambda é dado por
\lambda=\frac{2\pi}{k},
onde k é o número de onda (cada ciclo corresponde a 2\pi radianos no espaço). Aqui k=10\\ \mathrm{rad/m}. Portanto,
\lambda=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}62831853\\ \mathrm{m}.
Observação amigável: pense que k diz quantos “radianos espaciais” cabem por metro; 2π rad é um ciclo, então 2π dividido por k é o tamanho desse ciclo em metros.

Passo 3

Calcular o período T.
Fórmula e razão: a frequência angular \omega está relacionada ao período por
T=\frac{2\pi}{\omega},
porque um ciclo temporal tem 2\pi radianos. Com \omega=3\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s},
T=\frac{2\pi}{3\times10^{9}}\\ \mathrm{s}\approx 2{,}09439516\times10^{-9}\\ \mathrm{s}.
Ou seja T\approx 2{,}09\times10^{-9}\\ \mathrm{s}. Excelente — já temos \lambda e T.

Passo 4

Determinar direção e sentido de propagação e velocidade de fase.
Raciocínio sobre superfícies de fase: para uma onda com argumento de fase \varphi(y,t)=k y+\omega t as superfícies de fase são dadas por \varphi=const, logo
k y+\omega t=\text{const}\quad\Rightarrow\quad y=\text{const}-\frac{\omega}{k}t.
Como \dfrac{\omega}{k}>0, ao aumentar t o valor de y que mantém a fase constante diminui; portanto a onda desloca-se no sentido negativo do eixo y, isto é, no sentido de -\hat{\jmath}.
Velocidade de propagação (velocidade de fase) é
v=\frac{\omega}{k}=\frac{3\times10^{9}}{10}=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Como isso coincide numericamente com c (velocidade da luz no vácuo), concluímos que a onda se propaga no vácuo com velocidade c no sentido -\hat{\jmath}.
Resumo da justificativa: fases constantes mostram movimento em -\hat{\jmath} e v=\omega/k=c.

Passo 5

Encontrar \vec{E} em amplitude e direção; relação entre E_0 e B_0.
Primeiro, relação de amplitude: para ondas eletromagnéticas no vácuo a relação entre amplitudes é
E_{0}=\frac{\omega}{k}\,B_{0}=v\,B_{0}.
Explicando: das equações de Maxwell para onda plana obtém-se que a razão entre as amplitudes é \omega/k (que é a velocidade de fase). Já calculamos v=\omega/k=c, então
E_{0}=c\,B_{0}.
Agora a direção de \vec{E}: em uma onda eletromagnética \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação formam um triângulo retângulo (regra da mão direita) tal que \hat{E}\times\hat{B} aponta para a direção de propagação. Aqui \vec{B} aponta em +\hat{k} e a propagação é em -\hat{\jmath}. Então queremos \hat{E} tal que
\hat{E}\times\hat{k}=-\hat{\jmath}.
Sabendo que \hat{\imath}\times\hat{k}=-\hat{\jmath}, obtemos \hat{E}=\hat{\imath}. Portanto \vec{E} aponta em +\hat{\imath}.
Juntando amplitude, fase e direção:
\vec{E}=c\,B_{0}\,\sin\!\left[(10\\ \mathrm{rad/m})\,y+\bigl(3\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}\bigr)\,t\right]\hat{\imath}.
Breve comentário: neste tipo de problema a escolha do sinal de fase comum ao \sin para \vec{E} e \vec{B} é consistente — ambos os campos oscilam em fase espacial/temporal aqui.

Passo 6

Calcular o vetor de Poynting \vec{S}.
Definição e cálculo: o vetor de Poynting instantâneo é
\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B}.
Substituindo \vec{E}=cB_{0}\sin(\varphi)\hat{\imath} e \vec{B}=B_{0}\sin(\varphi)\hat{k}, com \varphi=(10)y+(3\times10^{9})t,
\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\bigl(cB_{0}\sin\varphi\,\hat{\imath}\bigr)\times\bigl(B_{0}\sin\varphi\,\hat{k}\bigr) =\frac{cB_{0}^{2}}{\mu_{0}}\sin^{2}\!\varphi\;(\hat{\imath}\times\hat{k}).
Como \hat{\imath}\times\hat{k}=-\hat{\jmath}, obtemos o instantâneo
\vec{S}=-\frac{cB_{0}^{2}}{\mu_{0}}\sin^{2}\!\left[(10)\,y+\bigl(3\times10^{9}\bigr)\,t\right]\hat{\jmath}.
Valor médio (temporal) do vetor de Poynting: como \langle\sin^{2}\varphi\rangle=1/2,
\langle\vec{S}\rangle=-\frac{cB_{0}^{2}}{2\mu_{0}}\hat{\jmath}.
Interpretação: aponta no sentido -\hat{\jmath} (mesmo sentido de propagação) e sua magnitude média é cB_0^2/(2\mu_0).

Passo 7

Calcular a pressão de radiação sobre uma superfície com reflexão elástica (perfeita).
Fórmula útil e intuição: para uma onda incidente normalmente sobre uma superfície, a pressão de radiação média sobre a superfície é
P_{\text{rad}}=\frac{\Delta p}{\Delta A\,\Delta t}=\frac{\text{fluxo de energia média}}{c}\times(\text{fator de reflexão}).éã
Para reflexão perfeitamente elástica (reflexão total), o momento trocado é o dobro do caso de absorção, então o fator é 2. Assim
P_{\text{rad}}=\frac{2\langle S\rangle}{c}.
Usando \langle S\rangle=\dfrac{cB_{0}^{2}}{2\mu_{0}} em módulo, obtemos
P_{\text{rad}}=\frac{2}{c}\cdot\frac{cB_{0}^{2}}{2\mu_{0}}=\frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}}.
Observação: a pressão calculada é a magnitude; a direção da força sobre a superfície é no sentido da propagação da onda (empurrando a superfície).

Resposta

a) \lambda=\dfrac{2\pi}{10}=\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}62831853\\ \mathrm{m}.
b) T=\dfrac{2\pi}{3\times10^{9}}\\ \mathrm{s}\approx 2{,}09439516\times10^{-9}\\ \mathrm{s}.
c) A onda se propaga na direção negativa do eixo y, ou seja no sentido -\hat{\jmath}. (Velocidade de fase v=\omega/k=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}=c.)
d) \displaystyle \vec{E}=c\,B_{0}\,\sin\!\left[(10\\ \mathrm{rad/m})\,y+\bigl(3\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}\bigr)\,t\right]\hat{\imath}.
e) Instantâneo: \displaystyle \vec{S}=-\frac{cB_{0}^{2}}{\mu_{0}}\sin^{2}\!\left[(10)\,y+\bigl(3\times10^{9}\bigr)\,t\right]\hat{\jmath}.
Média temporal: \displaystyle \langle\vec{S}\rangle=-\frac{cB_{0}^{2}}{2\mu_{0}}\hat{\jmath}.
f) Pressão de radiação (reflexão perfeitamente elástica): \displaystyle P_{\mathrm{rad}}=\frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}}.

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