QUESTÃO 1: O campo magnético de uma onda eletromagnética plana é descrito por
onde
é o vetor unitário na direção
. Os vetores unitários nas direções x e y são
e
, respectivamente.
a) Calcule o comprimento de onda
da onda.
b) Calcule o período T da onda.
c) Em qual direção e sentido essa onda se propaga? Justifique.
d) Escreva a expressão para o vetor campo elétrico
associado a esse campo magnético. Dê sua resposta em termos de
e
.
e) Escreva a expressão para o vetor de Poynting associado à essa onda eletromagnética. Dê sua resposta em termos de
e
.
f) Considere este campo eletromagnético refletindo elasticamente em uma determinada superfície. Calcule a pressão de radiação exercida nesta superfície em termos da velocidade da luz
e
.
a) Calcule o comprimento de onda
b) Calcule o período T da onda.
c) Em qual direção e sentido essa onda se propaga? Justifique.
d) Escreva a expressão para o vetor campo elétrico
e) Escreva a expressão para o vetor de Poynting associado à essa onda eletromagnética. Dê sua resposta em termos de
f) Considere este campo eletromagnético refletindo elasticamente em uma determinada superfície. Calcule a pressão de radiação exercida nesta superfície em termos da velocidade da luz
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei os dados do enunciado):
- Campo magnético fornecido:
- Vetores unitários:
em , em , em . - Quantidades extraídas do enunciado:
- número de onda
, - frequência angular
.
O que o enunciado pede:
a) comprimento de onda;\n
b) período;\n
c) direção e sentido de propagação (com justificativa);\n
d) expressão do campo elétricoassociado (em termos de );\n
e) expressão do vetor de Poynting(em termos de );\n
f) pressão de radiação sobre uma superfície com reflexão elástica (em termos de).
- número de onda
Passo 2
Calcular o comprimento de onda
.
Explicação curta da fórmula: para uma onda senoidal com número de onda (em
), o comprimento de onda
é dado por
Explicação curta da fórmula: para uma onda senoidal com número de onda
onde
é o número de onda (cada ciclo corresponde a
radianos no espaço). Aqui
. Portanto,
Observação amigável: pense que
diz quantos “radianos espaciais” cabem por metro; 2π rad é um ciclo, então 2π dividido por
é o tamanho desse ciclo em metros.
Passo 3
Calcular o período
.
Fórmula e razão: a frequência angular está relacionada ao período por
Fórmula e razão: a frequência angular
porque um ciclo temporal tem
radianos. Com
,
Ou seja
. Excelente — já temos
e
.
Passo 4
Determinar direção e sentido de propagação e velocidade de fase.
Raciocínio sobre superfícies de fase: para uma onda com argumento de fase as superfícies de fase são dadas por
const, logo
Raciocínio sobre superfícies de fase: para uma onda com argumento de fase
Como
, ao aumentar
o valor de
que mantém a fase constante diminui; portanto a onda desloca-se no sentido negativo do eixo
, isto é, no sentido de
.
Velocidade de propagação (velocidade de fase) é
Velocidade de propagação (velocidade de fase) é
Como isso coincide numericamente com
(velocidade da luz no vácuo), concluímos que a onda se propaga no vácuo com velocidade
no sentido
.
Resumo da justificativa: fases constantes mostram movimento em e
.
Resumo da justificativa: fases constantes mostram movimento em
Passo 5
Encontrar
em amplitude e direção; relação entre
e
.
Primeiro, relação de amplitude: para ondas eletromagnéticas no vácuo a relação entre amplitudes é
Primeiro, relação de amplitude: para ondas eletromagnéticas no vácuo a relação entre amplitudes é
Explicando: das equações de Maxwell para onda plana obtém-se que a razão entre as amplitudes é
(que é a velocidade de fase). Já calculamos
, então
Agora a direção de
: em uma onda eletromagnética
,
e o vetor de propagação formam um triângulo retângulo (regra da mão direita) tal que
aponta para a direção de propagação. Aqui
aponta em
e a propagação é em
. Então queremos
tal que
Sabendo que
, obtemos
. Portanto
aponta em
.
Juntando amplitude, fase e direção:
Juntando amplitude, fase e direção:
Breve comentário: neste tipo de problema a escolha do sinal de fase comum ao
para
e
é consistente — ambos os campos oscilam em fase espacial/temporal aqui.
Passo 6
Calcular o vetor de Poynting
.
Definição e cálculo: o vetor de Poynting instantâneo é
Definição e cálculo: o vetor de Poynting instantâneo é
Substituindo
e
, com
,
Como
, obtemos o instantâneo
Valor médio (temporal) do vetor de Poynting: como
,
Interpretação: aponta no sentido
(mesmo sentido de propagação) e sua magnitude média é
.
Passo 7
Calcular a pressão de radiação sobre uma superfície com reflexão elástica (perfeita).
Fórmula útil e intuição: para uma onda incidente normalmente sobre uma superfície, a pressão de radiação média sobre a superfície é
Fórmula útil e intuição: para uma onda incidente normalmente sobre uma superfície, a pressão de radiação média sobre a superfície é
Para reflexão perfeitamente elástica (reflexão total), o momento trocado é o dobro do caso de absorção, então o fator é
. Assim
Usando
em módulo, obtemos
Observação: a pressão calculada é a magnitude; a direção da força sobre a superfície é no sentido da propagação da onda (empurrando a superfície).
Resposta
a)
b)
c) A onda se propaga na direção negativa do eixo
, ou seja no sentido
. (Velocidade de fase
.)
d)
e) Instantâneo:
Média temporal:
Média temporal:
f) Pressão de radiação (reflexão perfeitamente elástica):