Exercício Lista 2-1.

Imagine um experimento fascinante no qual a luz interage com a matéria de uma maneira peculiar: o efeito fotoelétrico. Neste cenário, um feixe de luz laser, com suas propriedades bem definidas, incide sobre uma superfície metálica, liberando elétrons que podem ser estudados sob diferentes condições.
Nossa fonte de luz é um laser, capaz de emitir pulsos extremamente curtos, cada um contendo um número significativo de fótons. A luz emitida por este laser possui um comprimento de onda de 410 nm , e esses pulsos são liberados em intervalos de 200 ms . A partir de tais dados, estipula-se que o laser emite pulsos com energia de 7565 eV no total.
A superfície metálica escolhida como alvo em nosso experimento é feita de Sódio, um material conhecido por exibir o efeito fotoelétrico com luz visível. Para fins gerais, vamos considerar que a função trabalho deste metal ( \Phi_{0} ), é de 2,75 \mathrm{eV}.
A eficiência com a qual os fótons do laser conseguem arrancar elétrons da superfície do nosso cátodo não é de 100 \%, sendo, neste experimento, dada pela relação:
\text { Eficiência }=1-e^{\left[-2,047 \cdot 10^{-14}\left(v-6,64 \cdot 10^{14}\right)\right]}ê
onde v representa a frequência da luz incidente em Hertz.
Os elétrons liberados da superfície do Sódio são ejetados em diversas direções, formando ângulos com o plano da superfície. Para simplificar nossa análise, vamos considerar que todos os elétrons emergem de um mesmo ponto central da superfície e que o maior ângulo de emissão em relação ao eixo horizontal da superfície (que separa o cátodo e ânodo) não excede \pi / 6 \mathrm{rad}.
O cátodo e o ânodo são placas metálicas paralelas, separadas por uma distância de 40 cm . Cada placa possui uma altura de 10 cm e uma largura desprezível para os nossos propósitos.
Com este cenário em mente, vamos explorar algumas situações específicas:
I) Inicialmente, aplica-se uma diferença de potencial considerável entre o cátodo e o ânodo, estabelecendo um campo elétrico que garante que todos os elétrons ejetados sejam coletados, resultando na chamada corrente de saturação. Se medirmos a corrente elétrica total que chega ao ânodo a cada segundo, iniciando a contagem no momento em que os primeiros elétrons atingem o eletrodo, qual será o valor dessa corrente?
II) Agora, imagine que nenhuma diferença de potencial seja aplicada entre as placas (potencial nulo). Determine o tempo que um elétron leva para viajar do cátodo ao ânodo sob as seguintes condições de ejeção:
i) O elétron é ejetado exatamente na direção horizontal.
ii) O elétron é ejetado com o ângulo máximo possível em relação à horizontal.
III) Para garantir que todos os elétrons ejetados atinjam o ânodo, qual deve ser o valor mínimo da diferença de potencial V_{a} a ser aplicada entre as placas? Ou seja, ao aplicar uma d.d.p. você deve lembrar-se que teremos um \vec{E} entre as placas, acelerando o elétron. Para que o elétron ejetado com dada angulação não escape do nosso sistema, ele precisa atingir o ânodo antes que acabe subindo mais do que deveria, e acabe passando por cima dele.
IV) Uma vez estabelecida essa condição de potencial para obtermos a corrente de saturação, determine o tempo de voo e a velocidade horizontal com a qual os elétrons chegam ao ânodo nos dois casos de ejeção:
I) O elétron é ejetado exatamente na direção horizontal.
II) O elétron é ejetado com o ângulo máximo possível em relação à horizontal.
V) Existe um potencial específico que, ao ser aplicado de forma a criar um campo elétrico que se opõe ao movimento dos elétrons, é capaz de impedir que até mesmo os elétrons com a maior energia cinética atinjam o ânodo, interrompendo a corrente fotoelétrica. Qual é o valor desse potencial de corte?
VI) Suponha que substituímos nosso laser pulsado por um laser de emissão contínua com um comprimento de onda de 220 nm . Este novo laser emite luz continuamente, com uma energia total de 378,25 \mathrm{keV} por segundo. Mantendo a mesma relação para a eficiência da emissão fotoelétrica que foi apresentada, qual seria o novo potencial de corte observado neste novo cenário?
VII) Em uma variação do experimento, utilizamos uma lâmpada comum como fonte de luz, passando essa luz através de um monocromador. Este dispositivo seleciona uma estreita faixa de comprimentos de onda, centrada em 420 nm e com uma largura de linha \Delta \lambda=8 \mathrm{~nm} (de 416 nm a 424 nm ). Considerando que a luz emitida pela lâmpada se comporta como a radiação de um corpo negro ideal a uma temperatura de 2000 K , calcule a energia média dos fótons dentro dessa faixa de comprimentos de onda. Para isso, utilize a seguinte expressão, aproximando a integral por uma soma sobre comprimentos de onda discretos dentro da faixa ( 416 \mathrm{~nm}, 418 \mathrm{~nm}, 420 \mathrm{~nm}, 422 \mathrm{~nm}, 424 nm ):
\bar{E}=\frac{\sum_{i} E_{i} e^{-E_{i} / k_{B} T}}{\sum_{i} e^{-E_{i} / k_{B} T}}

Constantes e Fórmulas Úteis:

  • Velocidade da luz no vácuo: c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
  • Constante de Planck: h=6,626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}=4,135 \times 10^{-15} \mathrm{eV} \mathrm{s}
  • Carga elementar: e=1,602 \times 10^{-19} \mathrm{C}
  • Massa do elétron: m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
  • 1 \mathrm{eV}=1,602 \times 10^{-19} \mathrm{~J}
  • Energia de um fóton: E=h v=h c / \lambda
  • Energia cinética máxima dos elétrons ejetados: K_{\max }=h v-\Phi
  • Frequência da luz: v=c / \lambda
  • Constante de Boltzmann: k_{B}=1,38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}=8,617 \times 10^{-5} \mathrm{eV} / \mathrm{K}
  • Energia cinética: E_{c}=\frac{1}{2} m v^{2}
  • Relação entre Campo elétrico e Potencial elétrico: E=V /_{\text {dist }}

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado fornece e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
Dados relevantes:
  • Comprimento de onda do laser inicial: \lambda=410\\ \text{nm}.
  • Pulsos a cada 200\\ \text{ms} (logo 1/0{,}2=5 pulsos por segundo).
  • Energia total por pulso: 7565\\ \text{eV}.
  • Função trabalho do Sódio: \Phi_{0}=2{,}75\\ \text{eV}.
  • Eficiência da emissão (função da frequência v): \text{Eficiência}=1-\exp\big[-2{,}047\cdot10^{-14}\,(v-6{,}64\cdot10^{14})\big].ê
  • Placas (cátodo e ânodo) separadas por distância horizontal \,d=0{,}40\\ \text{m}.
  • Altura de cada placa: H=0{,}10\\ \text{m}. O ponto de emissão é o centro da placa (logo distância até o topo =H/2=0{,}05\\ \text{m}).
  • Máximo ângulo de ejeção relativo à horizontal: \theta_{\max}=\pi/6.
  • Constantes dadas (vou usá‑las): c=3\times10^{8}\\ \text{m/s}, h=4{,}135\times10^{-15}\\ \text{eV}\cdot\text{s} (usarei \,h em eV·s quando conveniente), e=1{,}602\times10^{-19}\\ \text{C}, m_{e}=9{,}11\times10^{-31}\\ \text{kg}, k_{B}=1{,}38\times10^{-23}\\ \text{J/K}.
O enunciado pede, em sequência:
I) Corrente de saturação medida por segundo (com o campo tal que todos os elétrons ejetados são coletados).
II) Tempos de voo do elétron cátodo→ânodo com potencial nulo, para (i) \theta=0 e (ii) \theta=\pi/6.
III) Menor diferença de potencial V_{a} necessária para garantir que todos os elétrons ejetados atinjam o ânodo (isto é: atingirem o ânodo antes de ultrapassar o topo da placa).
IV) Com esse V_{a} (condição de saturação), calcular tempo de voo e velocidade horizontal ao chegar ao ânodo, para os dois casos de ejeção (horizontal e \pi/6).
V) Potencial de corte (stop) que impede até os elétrons de maior energia cinética de alcançar o ânodo.
VI) Para um laser contínuo de \lambda=220\\ \text{nm} com energia 378{,}25\\ \text{keV/s}, mantendo a mesma expressão de eficiência, qual o novo potencial de corte.
VII) Para a lâmpada + monocromador centrado em 420\\ \text{nm} com comprimentos \{416,418,420,422,424\}\\ \text{nm} e T=2000\\ \text{K}, calcular a energia média dos fótons na janela usando
\bar{E}=\frac{\sum_{i} E_{i} e^{-E_{i}/(k_{B}T)}}{\sum_{i} e^{-E_{i}/(k_{B}T)}},
onde E_{i}=hc/\lambda_{i}.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiros cálculos gerais — frequência da luz e energia por fóton (essas quantidades serão usadas repetidamente).
Frequência da luz incidente:
v=\frac{c}{\lambda}.
Para \lambda=410\\ \text{nm}=410\times10^{-9}\\ \text{m}:
v=\frac{3\times10^{8}}{410\times10^{-9}} \approx 7{,}317\times10^{14}\\ \text{Hz}.
Energia de cada fóton (em eV, usando h=4{,}135\times10^{-15}\\ \text{eV}\cdot\text{s}):
E_{\text{fóton}}=h\,v \approx 4{,}135\times10^{-15}\cdot 7{,}317\times10^{14}\approx 3{,}026\\ \text{eV}.ó
Energia cinética máxima dos elétrons (fórmula fotoelétrica):
K_{\max}=h v - \Phi_{0}.
Logo
K_{\max}=3{,}026\\ \text{eV}-2{,}75\\ \text{eV}=0{,}276\\ \text{eV}.
Converter K_{\max} para Joules quando necessário:
K_{\max} = 0{,}276\\ \text{eV}\times 1{,}602\times10^{-19}\\ \frac{\text{J}}{\text{eV}} \approx 4{,}42\times10^{-20}\\ \text{J}.
Também calculo a velocidade máxima do elétron (módulo da velocidade inicial) a partir de K=\tfrac{1}{2}m_{e}v^{2}:
v_{\text{tot}}=\sqrt{\frac{2K_{\max}}{m_{e}}} =\sqrt{\frac{2\cdot4{,}42\times10^{-20}}{9{,}11\times10^{-31}}} \approx 3{,}12\times10^{5}\\ \text{m/s}.
Isso é uma velocidade não-relativística (bem menor que c), portanto as fórmulas clássicas valem.

Passo 3

Estratégia: corrente média por segundo = carga coletada por segundo = (número de elétrons coletados por segundo) \times e.
  1. Número de fótons por pulso:
N_{\text{fótons/pulso}}=\frac{\text{energia por pulso (eV)}}{E_{\text{fóton}}(\text{eV})} =\frac{7565}{3{,}026}\approx 2{,}501\\ \text{fótons por pulso}.óóó
  1. Eficiência de emissão para a frequência calculada:
\text{Eficiência}=1-\exp\big[-2{,}047\cdot10^{-14}(v-6{,}64\cdot10^{14})\big].ê
Substituindo v\approx7{,}317\times10^{14}\\ \text{Hz},
o argumento do exponencial é -2{,}047\cdot10^{-14}\cdot(7{,}317-6{,}64)\times10^{14}\approx -1{,}386.
Logo
\text{Eficiência}\approx 1-\mathrm{e}^{-1{,}386}\approx 1-0{,}2505\approx 0{,}7495.ê
  1. Elétrons emitidos por pulso (assumindo cada fóton que funciona libera 1 elétron):
N_{e/\text{pulso}}=N_{\text{fótons/pulso}}\times\text{Eficiência}\approx 2{,}501\cdot0{,}7495\approx 1{,}876.óê
  1. Pulsos por segundo: 5 (pois 1 pulso a cada 0{,}2\\ \text{s}). Portanto elétrons por segundo coletados (saturação):
N_{e/\text{s}}=5\cdot1{,}876\approx 9{,}378\\ \text{elétrons/s}.é
  1. Corrente elétrica (carga por segundo):
I=N_{e/\text{s}}\cdot e \approx 9{,}378\cdot 1{,}602\times10^{-19}\\ \text{C} \approx 1{,}50\times10^{-15}\\ \text{A}.
Interpretação: essa é uma corrente muito pequena (ordem de femtoampère), coerente com poucas centenas ou milhares de elétrons por segundo.

Passo 4

Sem campo elétrico entre as placas os elétrons viajam em linha reta com velocidade inicial dada por v_{\text{tot}}. Decompondo em componentes:
v_{x}=v_{\text{tot}}\cos\theta,\qquad v_{y}=v_{\text{tot}}\sin\theta.
O tempo para percorrer a distância horizontal d=0{,}40\\ \text{m} é
t=\frac{d}{v_{x}}.
(i) Ejeção exatamente horizontal ( \theta=0):
v_{x}=v_{\text{tot}}\approx 3{,}12\times10^{5}\\ \text{m/s},
t_{(i)}=\frac{0{,}40}{3{,}12\times10^{5}}\approx 1{,}28\times10^{-6}\\ \text{s}.
(ii) Ejeção com \theta=\pi/6 (ou seja \cos\theta=\sqrt{3}/2\approx0{,}8660, \sin\theta=1/2):
v_{x}=v_{\text{tot}}\cos\theta\approx 3{,}12\times10^{5}\cdot0{,}866\approx 2{,}70\times10^{5}\\ \text{m/s},
t_{(ii)}=\frac{0{,}40}{2{,}70\times10^{5}}\approx 1{,}48\times10^{-6}\\ \text{s}.
Observação importante (que será útil no passo III): a componente vertical de velocidade no caso (ii) é
v_{y}=v_{\text{tot}}\sin\theta\approx 3{,}12\times10^{5}\cdot0{,}5\approx 1{,}56\times10^{5}\\ \text{m/s},
então o deslocamento vertical até o anodo nesse tempo é y=v_{y}t_{(ii)}\approx 0{,}231\\ \text{m}, bem maior que 0{,}05\\ \text{m} (a distância até o topo da placa). Assim, sem campo muitos elétrons emitidos inclinados vão passar por cima do anodo (não coletados).

Passo 5

Estratégia e raciocínio físico:
  • Aplicando uma diferença de potencial V_{a} entre as placas gera‑se um campo elétrico homogêneo horizontal \,E=V_{a}/d que acelera os elétrons na direção +x. Esse campo altera o tempo de travessia horizontal, encurtando‑o.
  • A componente vertical v_{y} não é afetada (não há campo vertical), portanto a condição para o elétron emitido com ângulo máximo \theta_{\max} não passar por cima do anodo é: \text{quando o elétron alcança }x=d,\quad y=v_{y}t \le \frac{H}{2}=0{,}05\\ \text{m}.éç
  • Para garantir isso para o pior caso ( \theta=\theta_{\max}), tome t=t_{\max}=\dfrac{0{,}05}{v_{y}}. Pegando esse t_{\max}, imponha que o deslocamento horizontal no mesmo intervalo de tempo seja d. Com aceleração horizontal a_{x}=eE/m_{e}=eV_{a}/(m_{e}d), a posição horizontal é x(t)=v_{x0}t+\tfrac{1}{2}a_{x}t^{2}.Igualando em t=t_{\max} e x=d obtemos a condição para o campo mínimo.
Equações e resolução:
  • Para \theta=\pi/6: v_{y}=v_{\text{tot}}\sin\theta=\tfrac{1}{2}v_{\text{tot}},\qquad v_{x0}=v_{\text{tot}}\cos\theta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}v_{\text{tot}}.
t_{\max}=\frac{0{,}05}{v_{y}}=\frac{0{,}05}{\tfrac{1}{2}v_{\text{tot}}}=\frac{0{,}10}{v_{\text{tot}}}.
Impressão numérica: com v_{\text{tot}}\approx 3{,}12\times10^{5}\\ \text{m/s},
t_{\max}\approx \frac{0{,}10}{3{,}12\times10^{5}}\approx 3{,}21\times10^{-7}\\ \text{s}.
  • Exigir x(t_{\max})=d: d=v_{x0}t_{\max}+\tfrac{1}{2}\,a_{x}t_{\max}^{2}.Isolando a_{x}: a_{x}=\frac{2\big(d-v_{x0}t_{\max}\big)}{t_{\max}^{2}}.Como a_{x}=eE/m_{e}=eV_{a}/(m_{e}d), temos \frac{eV_{a}}{m_{e}d}=\frac{2\big(d-v_{x0}t_{\max}\big)}{t_{\max}^{2}} \quad\Rightarrow\quad V_{a}=\frac{2m_{e}d\big(d-v_{x0}t_{\max}\big)}{e\,t_{\max}^{2}}.
Substituindo números (usando os valores numéricos já calculados):
  • v_{\text{tot}}\approx 3{,}12\times10^{5}\\ \text{m/s}
    v_{x0}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}v_{\text{tot}}\approx 2{,}70\times10^{5}\\ \text{m/s}.
  • t_{\max}\approx 3{,}21\times10^{-7}\\ \text{s}.
  • d=0{,}40\\ \text{m}, m_{e}=9{,}11\times10^{-31}\\ \text{kg}, e=1{,}602\times10^{-19}\\ \text{C}.
Calcule d-v_{x0}t_{\max}:
d-v_{x0}t_{\max}\approx 0{,}40 - 2{,}70\times10^{5}\cdot3{,}21\times10^{-7}\approx 0{,}313\\ \text{m}.
Agora
V_{a}\approx \frac{2\cdot 9{,}11\times10^{-31}\cdot0{,}40\cdot0{,}313}{1{,}602\times10^{-19}\cdot(3{,}21\times10^{-7})^{2}} \approx 13{,}9\\ \text{V}.
Conclusão: o menor valor de V_{a} necessário para que até os elétrons emitidos com \theta=\pi/6 atinjam o ânodo antes de ultrapassar o topo da placa é aproximadamente 13{,}9\\ \text{V}.

Passo 6

Vamos usar o campo mínimo que encontramos: V_{a}\approx 13{,}9\\ \text{V}. O campo elétrico entre placas é
E=\frac{V_{a}}{d}\approx \frac{13{,}9}{0{,}40}\approx 34{,}6\\ \text{V/m}.
A aceleração horizontal do elétron é
a_{x}=\frac{eE}{m_{e}}\approx \frac{1{,}602\times10^{-19}\cdot34{,}6}{9{,}11\times10^{-31}} \approx 6{,}09\times10^{12}\\ \text{m/s}^{2}.
Caso (ii) — \theta=\pi/6 (pior caso): por construção usamos t=t_{\max} quando escolhemos V_{a}. Portanto
t_{(ii)}=t_{\max}\approx 3{,}21\times10^{-7}\\ \text{s}.
Velocidade horizontal ao chegar no ânodo:
v_{x,\text{final}}=v_{x0}+a_{x}t_{(ii)} \approx 2{,}70\times10^{5} + 6{,}09\times10^{12}\cdot 3{,}21\times10^{-7} \approx 2{,}22\times10^{6}\\ \text{m/s}.
Caso (i) — \theta=0 (ejeção horizontal): aqui v_{x0}=v_{\text{tot}}\approx 3{,}12\times10^{5}\\ \text{m/s}. O tempo t_{(i)} satisfaz
d=v_{x0}t_{(i)}+\tfrac{1}{2}a_{x}t_{(i)}^{2}.
Isto é uma equação quadrática em t_{(i)}. Resolvendo:
\tfrac{1}{2}a_{x}t^{2}+v_{x0}t-d=0
t_{(i)}=\frac{-v_{x0}+\sqrt{v_{x0}^{2}+2a_{x}d}}{a_{x}}.
Substituindo números:
  • v_{x0}^{2}\approx(3{,}12\times10^{5})^{2}\approx 9{,}73\times10^{10}.
  • 2a_{x}d\approx 2\cdot6{,}09\times10^{12}\cdot0{,}40\approx 4{,}87\times10^{12}.
    A raiz dá \approx 2{,}23\times10^{6}, então
t_{(i)}\approx \frac{-3{,}12\times10^{5}+2{,}23\times10^{6}}{6{,}09\times10^{12}} \approx 3{,}15\times10^{-7}\\ \text{s}.
Velocidade horizontal ao chegar:
v_{x,\text{final}}=v_{x0}+a_{x}t_{(i)}\approx 3{,}12\times10^{5} + 6{,}09\times10^{12}\cdot3{,}15\times10^{-7} \approx 2{,}23\times10^{6}\\ \text{m/s}.
Observação: as velocidades finais horizontais nos dois casos são muito próximas (ordem 2{,}2\times10^{6}\\ \text{m/s}), porque o campo confere uma grande aceleração comparada às velocidades iniciais.

Passo 7

Conceito: o potencial de corte V_{\text{stop}} é tal que a diferença de potencial entre cátodo e ânodo remove a energia cinética máxima dos elétrons: eV_{\text{stop}}=K_{\max}. Em volts isso é simplesmente V_{\text{stop}}=K_{\max} (quando K_{\max} está em eV).
Temos K_{\max}=0{,}276\\ \text{eV}, logo
V_{\text{stop}}\approx 0{,}276\\ \text{V}.
Interpretação: com uma d.d.p. retardadora de cerca de 0{,}28\\ \text{V} (ânodo negativo relativo ao cátodo nessa magnitude) nenhum elétron com energia máxima conseguirá alcançá‑lo.

Passo 8

Primeiro calcule a frequência e energia dos fótons:
\lambda=220\\ \text{nm}\Rightarrow v=\dfrac{3\times10^{8}}{220\times10^{-9}}\approx 1{,}364\times10^{15}\\ \text{Hz}.
Energia por fóton (em eV):
E_{\text{fóton}}=h v \approx 4{,}135\times10^{-15}\cdot1{,}364\times10^{15}\approx 5{,}64\\ \text{eV}.ó
Kinetic maximum:
K_{\max}=E_{\text{fóton}}-\Phi_{0}\approx 5{,}64 - 2{,}75 = 2{,}89\\ \text{eV}.ó
Portanto o novo potencial de corte é
V_{\text{stop}}^{(\text{220 nm})}\approx 2{,}89\\ \text{V}.
Observação sobre eficiência e taxa de elétrons: a eficiência dada pela expressão do enunciado, para essa frequência maior, é praticamente 1 (o argumento do exponencial é grande e negativo), mas a questão pedia o potencial de corte — que depende apenas de h v e \Phi_{0}, portanto o valor acima é o que interessa.

Passo 9

Instrução: aproximar a integral pela soma discreta nas cinco comprimentos de onda \lambda_{i}=\{416,418,420,422,424\}\\ \text{nm}. Usar E_{i}=hc/\lambda_{i} com h=6{,}626\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s} para trabalhar em Joules (pois k_{B} está em J/K).
Constante hc=6{,}626\times10^{-34}\cdot3\times10^{8}=1{,}9878\times10^{-25}\\ \text{J}\cdot\text{m}.
Calculemos E_{i} e os fatores e^{-E_{i}/(k_{B}T)} com T=2000\\ \text{K} e k_{B}T=1{,}38\times10^{-23}\cdot2000=2{,}76\times10^{-20}\\ \text{J}.
Cálculos (apresento os valores numéricos arredondados com coerência):
  • \lambda_{1}=416\\ \text{nm}=4{,}16\times10^{-7}\\ \text{m}: E_{1}=\frac{1{,}9878\times10^{-25}}{4{,}16\times10^{-7}}\approx 4{,}78\times10^{-19}\\ \text{J}.
e^{-E_{1}/(k_{B}T)}\approx e^{-17{,}31}\approx 3{,}02\times10^{-8}.
Produto E_{1}e^{-E_{1}/(k_{B}T)}\approx 1{,}44\times10^{-26}\\ \text{J}.
  • \lambda_{2}=418\\ \text{nm}\Rightarrow E_{2}\approx 4{,}75\times10^{-19}\\ \text{J},\\ e^{-E_{2}/(k_{B}T)}\approx 3{,}33\times10^{-8},\\ E_{2}e^{-E_{2}/(k_{B}T)}\approx 1{,}58\times10^{-26}\\ \text{J}.
  • \lambda_{3}=420\\ \text{nm}\Rightarrow E_{3}\approx 4{,}73\times10^{-19}\\ \text{J},\\ e^{-E_{3}/(k_{B}T)}\approx 3{,}61\times10^{-8},\\ E_{3}e^{-E_{3}/(k_{B}T)}\approx 1{,}71\times10^{-26}\\ \text{J}.
  • \lambda_{4}=422\\ \text{nm}\Rightarrow E_{4}\approx 4{,}71\times10^{-19}\\ \text{J},\\ e^{-E_{4}/(k_{B}T)}\approx 3{,}89\times10^{-8},\\ E_{4}e^{-E_{4}/(k_{B}T)}\approx 1{,}83\times10^{-26}\\ \text{J}.
  • \lambda_{5}=424\\ \text{nm}\Rightarrow E_{5}\approx 4{,}69\times10^{-19}\\ \text{J},\\ e^{-E_{5}/(k_{B}T)}\approx 4{,}23\times10^{-8},\\ E_{5}e^{-E_{5}/(k_{B}T)}\approx 1{,}98\times10^{-26}\\ \text{J}.
Somando numeradores e denominadores:
\sum_{i} E_{i}e^{-E_{i}/(k_{B}T)}\approx 8{,}55\times10^{-26}\\ \text{J},
\sum_{i} e^{-E_{i}/(k_{B}T)}\approx 1{,}81\times10^{-7}.
Portanto
\bar{E}=\frac{8{,}55\times10^{-26}}{1{,}81\times10^{-7}}\approx 4{,}73\times10^{-19}\\ \text{J}.
Convertendo para eV (dividindo por 1{,}602\times10^{-19}\\ \text{J/eV}):
\bar{E}\approx \frac{4{,}73\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\approx 2{,}95\\ \text{eV}.
Intuição: essa média fica muito próxima à energia do fóton central ( \lambda=420\\ \text{nm} corresponde a \sim 2{,}95\\ \text{eV}), porque a janela é estreita e a distribuição de Boltzmann a 2000\\ \text{K} dá pesos muito pequenos a fótons tão energéticos (os exponenciais são pequenos), de modo que a média fica próxima ao valor geométrico da janela.

Resposta

I) I\approx 1{,}50\times10^{-15}\\ \text{A}.
II.i) t\approx 1{,}28\times10^{-6}\\ \text{s}.
II.ii) t\approx 1{,}48\times10^{-6}\\ \text{s}.
III) V_{a,\min}\approx 13{,}9\\ \text{V}.
IV.i) t\approx 3{,}15\times10^{-7}\\ \text{s},\quad v_{x,\text{chegada}}\approx 2{,}23\times10^{6}\\ \text{m/s}.
IV.ii) t\approx 3{,}21\times10^{-7}\\ \text{s},\quad v_{x,\text{chegada}}\approx 2{,}22\times10^{6}\\ \text{m/s}.
V) V_{\text{stop}}\approx 0{,}276\\ \text{V}.
VI) V_{\text{stop (220 nm)}}\approx 2{,}89\\ \text{V}.
VII) \bar{E}\approx 4{,}73\times10^{-19}\\ \text{J}\approx 2{,}95\\ \text{eV}.

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