4^a Questão) Um capilar de 10 cm de altura e 0,1 cm de raio, contendo 5,0 cm de altura de água que evapora para um meio estagnado contendo ar com 35 % de umidade relativa. Sabendo-se que a temperatura do meio é de 25^circ C, que a difusividade do vapor d’agua em ar é igual a 0,219 cm^2 s^-1 e que a pressão de vapor da água nesta temperatura é de 23,8 mmHg, calcule:
a) O perfil de concentração de vapor d’agua.
b) A taxa de evaporação inicial.
c) Em quanto tempo o nível de água se reduz em 0,02 cm ?

Passo 1

O enunciado descreve um tubo capilar vertical de raio r=0,1 cm e altura total 10 cm, contendo inicialmente uma coluna de água de 5,0 cm de altura. A evaporação ocorre por difusão de vapor no ar estagnado, com difusividade D=0,219 cm^2/s. O ar ambiente a 25^circC está a 35% de umidade relativa, e a pressão de vapor saturado da água é ps=23,8 mmHg.
Conteúdo: difusão unidimensional e Lei de Fick. Precisamos (a) achar o perfil estacionário de concentração de vapor no espaço entre a superfície livre da água e a boca do capilar ( 5 cm), (b) calcular a taxa inicial de evaporação via fluxo de Fick, e (c) determinar o tempo para a coluna de água baixar 0,02 cm.

Passo 2

Calcular as concentrações de vapor na superfície da água ( cs) e na boca do capilar ( cinfty).
  1. Converter ps em atm:
ps = 23,8760 atm approx 0,03132 atm
  1. Usar a equação de gás ideal em mol/L:
cs = psR,T com R=0,08206 Lcdot atmmolcdot K, T=298 K
Logo
cs = 0,031320,08206cdot 298 approx 1,278times 10^-3 mol/L =1,278times 10^-6 mol/cm^3
Como a umidade relativa é 35%,
cinfty = 0,35,cs = 0,35times 1,278times10^-6 approx 0,4473times10^-6 mol/cm^3

Passo 3

Determinar o perfil estacionário de concentração c(x) no espaço de ar de espessura h=5,0 cm.
Em regime estacionário e fluxo unidimensional, d^2c/dx^2=0, logo c(x) é linear entre x=0 (superfície da água) e x=h (boca do capilar). Assim
c(x) = cinfty + (cs-cinfty)l(1-xhr), 0<= x<= h,
com os valores numéricos
c(x) = 0,4473times10^-6 + l(1,278-0,4473r)times10^-6 l(1-tfracx5,0r) (mol/cm^3)

Passo 4

Calcular o fluxo molar de evaporação pela Lei de Fick:
J = -D,dcdx = D,cs - cinftyh
Substituindo
J = 0,219 cm^2 s; (1,278-0,4473)times10^-6 mol/cm^35,0 cm approx 3,64times10^-8;molcm^2cdot s
A área do tubo é A=pi r^2=pi,(0,1)^2approx0,03142 cm^2, daí a vazão molar total
dot n = J,A approx 3,64times10^-8times0,03142 approx1,15times10^-9 mol/s

Passo 5

Converter para vazão volumétrica de água e taxa de recuo da coluna:
  1. Massa molar da água M=18 g/mol.
  2. Vazão mássica dot m = dot n,M approx1,15times10^-9times18 approx2,07times10^-8 g/s
  3. Como rhorm H2O=1 g/cm^3, o volume evaporado por segundo é
    dot V = 2,07times10^-8 cm^3/s
  4. A altura da coluna decresce à razão
d hdt = -dot VA = -2,07times10^-80,03142 approx -6,59times10^-7 cm/s

Passo 6

Tempo para a coluna perder De<a h=0,02 cm:
t = De<a h|tfracdhdt| = 0,026,59times10^-7 s approx 3,03times10^4 s approx 8,4 h

Resposta

a) O perfil estacionário de concentração é
boxed c(x) = cinfty + (cs-cinfty)l(1-x5,0r), cs=1,278times10^-6, cinfty=0,4473times10^-6 mol/cm^3
b) A taxa inicial de evaporação é
boxed J = 3,64times10^-8 molcm^2cdot s, dot V = 2,07times10^-8 cm^3/s
c) O tempo para reduzir 0,02 cm é
boxed t approx 3,0times10^4 s approx 8,4 h

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