3^a Questão) Uma gota esférica de água de raio inicial igual a 2,0 mm evapora-se em um meio estagnado contendo ar com 55 % de umidade relativa. Sabendo-se que a temperatura do meio é de 25^circ C, que a difusividade do vapor d’agua em ar é igual a 0,219 cm^2 s^-1 e que a pressão de vapor da água nesta temperatura é de 23,8 mmHg, calcule:
a) O perfil de concentração de vapor d’agua.
b) A taxa de evaporação inicial.
c) Em quanto tempo o raio da gota se reduzirá para metade do seu valor inicial?

Passo 1

O enunciado trata da evaporação difusiva de uma gota esférica de raio inicial R0=2,0 mm em ar estagnado a T=25^circ C, com umidade relativa phi=55%. O vapor d’água difunde ao redor da gota com difusividade D=0,219 cm^2/s. Precisamos usar:
1. A solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas para o perfil de concentração C(r).
2. A lei de Fick para obter a taxa inicial de evaporação.
3. A equação de balanço de massa para derivar a lei de encolhimento dR/ dt e calcular o tempo até R=R0/2.

Passo 2

Em regime quase– estacion’ario a concentra\c{c}~ao
em coordenadas esf’ericas. A solu\c{c}~ao geral com simetria radial 'e
Para determinar usamos as fronteiras:
na superf’icie da gota , a concentra\c{c}~ao 'e de saturac~ao .
no infinito , .
Impondo essas condi\c{c}~oes:
logo (B=(C_s-C_\infty),R_0]. Portanto

Passo 3

Calculamos Cs e Cinfty pelo gás ideal:
prm sat=23,8 mmHg=23,8times133,322 Pa=3,173!times10^3 Pa,
pinfty=phi,prm sat=0,55times3,173times10^3=1,745times10^3 Pa,
Cs=prm satRrm UT=3,173times10^38,314times298=1,279 mol/m^3,
Cinfty=phi,Cs=0,55times1,279=0,703 mol/m^3

Passo 4

Substituindo em C(r) com R0=2,0 mm=2,0times10^-3 m:
C(r)=0,703+(1,279-0,703),2,0times10^-3r =0,703+0,576,2,0times10^-3r =0,703+1,152times10^-3r(mol/m^3)

Passo 5

A taxa molar de evaporação é dada por Fick:
dot N=-4pi R0^2,D dC dr|r=R0 =4pi,D,(Cs-Cinfty),R0
Convertendo em massa:
dot m=dot N,Mw,
onde Mw=18times10^-3 kg/mol. A variação do raio vem de
d dtl(tfrac43pi R^3rhoellr)=-dot m,
com rhoell=1000 kg/m^3, levando a
dR dt =-D,(Cs-Cinfty),Mwrhoell,R

Passo 6

Usando D=2,19times10^-5 m^2/s e De<a C=Cs-Cinfty=0,576 mol/m^3:
dot N=4pi,(2,19times10^-5),(0,576),(2,0times10^-3) =3,17times10^-7 mol/s,
dot m=dot N,Mw=3,17times10^-7times18times10^-3 =5,71times10^-9 kg/s,
dR dt|t=0 =-2,19times10^-5times0,576times18times10^-3 1000times2,0times10^-3 =-1,13times10^-7 m/s =-0,113 mu m/s

Passo 7

Integrando
dR dt=-kR, k=D,De<a C,Mwrhoell,
obt’em– se a lei de encolhimento
R^2(t)=R0^2-2k,t
Para R=R0/2:
t1/2=R0^2-(R0/2)^22k =R0^2l(1-tfrac14r)2k =3,R0^28k

Passo 8

Calculando k=(2,19times10^-5times0,576times18times10^-3)/1000=2,27times10^-10 m^2/s e R0=2,0times10^-3 m,
t1/2 =3,(2,0times10^-3)^28,l(2,27times10^-10r) =3times4,0times10^-61,816times10^-9 approx6,62times10^3 s approx1,84 h

Resposta

a) C(r)=0,703+1,152times10^-3r\quad(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}), com r em metros.
b) dot m=5,71times10^-9 kg/s e dR dt|0=-1,13times10^-7 m/s.
c) t1/2approx6,62times10^3 sapprox1,84 h

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