Questão) Uma gota esférica de água de raio inicial igual a evapora-se em um meio estagnado contendo ar com de umidade relativa. Sabendo-se que a temperatura do meio é de , que a difusividade do vapor d’agua em ar é igual a e que a pressão de vapor da água nesta temperatura é de , calcule:
a) O perfil de concentração de vapor d’agua.
b) A taxa de evaporação inicial.
c) Em quanto tempo o raio da gota se reduzirá para metade do seu valor inicial?
Passo 1
O enunciado trata da evaporação difusiva de uma gota esférica de raio inicial em ar estagnado a , com umidade relativa . O vapor d’água difunde ao redor da gota com difusividade . Precisamos usar: . A solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas para o perfil de concentração . . A lei de Fick para obter a taxa inicial de evaporação. . A equação de balanço de massa para derivar a lei de encolhimento e calcular o tempo até .
Passo 2
Em regime quase– estacion’ario a concentra\c{c}~ao
em coordenadas esf’ericas. A solu\c{c}~ao geral com simetria radial 'e
Para determinar usamos as fronteiras: na superf’icie da gota , a concentra\c{c}~ao 'e de saturac~ao . no infinito , .
Impondo essas condi\c{c}~oes:
logo (B=(C_s-C_\infty),R_0]. Portanto
Passo 3
Calculamos e pelo gás ideal:
Passo 4
Substituindo em com :
Passo 5
A taxa molar de evaporação é dada por Fick:
Convertendo em massa:
dot m=dot N,Mw,
onde Mw=18times10^-3 kg/mol. A variação do raio vem de
d dtl(tfrac43pi R^3rhoellr)=-dot m,
com rhoell=1000 kg/m^3, levando a
dR dt =-D,(Cs-Cinfty),Mwrhoell,R
Passo 6
Usando D=2,19times10^-5 m^2/s e De<a C=Cs-Cinfty=0,576 mol/m^3:
Calculando k=(2,19times10^-5times0,576times18times10^-3)/1000=2,27times10^-10 m^2/s e R0=2,0times10^-3 m,
t1/2 =3,(2,0times10^-3)^28,l(2,27times10^-10r) =3times4,0times10^-61,816times10^-9 approx6,62times10^3 s approx1,84 h
Resposta
a) C(r)=0,703+1,152times10^-3r\quad(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}), com r em metros.
b) dot m=5,71times10^-9 kg/s e dR dt|0=-1,13times10^-7 m/s.
c) t1/2approx6,62times10^3 sapprox1,84 h