Questão) Uma esfera de carbono (raio igual a ) é queimada em ar a 1500 K e 105 kPa em condições isotérmicas, sofrendo combustão parcial de acordo com a equação abaixo. Calcule a taxa de consumo de oxigênio, seu perfil de concentração e como o raio da esfera varia com o tempo, assumindo que a reação superficial tem velocidade infinita.

Passo 1

O enunciado trata da combustão parcial de uma esfera de carbono de raio inicial r0=0,2;cm suspensa em ar a T=1500;K e P=105;kPa. A reação superficial
C(s) + tfrac12,O2(g) longrightarrow CO(g)
é tão rápida que a concentração de O2 na superfície da esfera pode ser considerada nula ( Cs=0). Assim, todo o transporte de O2 até a superfície é por difusão, num regime estacionário esférico, com coeficiente de difusão DAB=0,318;cm^2/s. Para relacionar a perda de massa da esfera ao consumo de O2 usaremos a densidade sólida rhos=2,0;g/cm^3 e a estequiometria da reação.

Passo 2

Calcular a concentração de O2 no fluido a jusante, Cinfty, pela lei dos gases ideais:
Cinfty=yO2,PR,T,
onde yO2=0,21, P=105;kPa=1,05times10^5;Pa, R=8,314;J/(mol,K) e T=1500;K.
Numericamente, em mol/cm^3:
Cinfty =0,21times1,05times10^58,314times1500times10^-6 approx1,8times10^-6;mol/cm^3

Passo 3

Em regime estacionário esférico com C(rs)=0 e C(infty)=Cinfty, o fluxo molar de O2 para a superfície é
-dot NO2 =4pi,rs,DAB,Cinfty,
onde rs=r(t) é o raio instantâneo da esfera. Este valor é a taxa de consumo de O2 (em mol/s). Para rs=0,2;cm:
-dot NO2 =4pitimes0,2times0,318times1,8times10^-6 approx1,4times10^-6;mol/s

Passo 4

O perfil radial de concentração de O2 em regime estacionário satisfaz
1r^2ddrl(r^2dCdrr)=0
com C(rs)=0 e C(infty)=Cinfty. Integração dá
C(r)=Cinftyl(1-rsrr), r>= rs

Passo 5

A variação do raio decorre da relação entre consumo de massa de carbono e difusão de O2. Em módulo,
-dMsdt = MCdot NC = MCl(2dot NO2r)
e Ms=rhos43pi rs^3. Como dot NO2=-4pi rsDABCinfty, tem-se
-rhos,4pi rs^2drsdt =12;(2);(4pi rsDABCinfty)
implies rsdrsdt =-24,DAB,Cinftyrhos ,
Integrando de r0 a r(t):
integralr0^r(t)rs,drs =-24,DAB,Cinftyrhos,t ;;Longrightarrow;; r(t)^2 =r0^2 -48,DAB,Cinftyrhos;t

Resposta

Taxa de consumo de O2:
-dot NO2 =4pi,r,DAB,Cinfty approx1,4times10^-6;mol/s
Perfil de concentração:
C(r)=Cinftyl(1-r(t)rr), r>= r(t)
Variação do raio:
r(t) =raiz,r0^2-48,DAB,Cinftyrhos;t,

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