8^a Questão) Um capilar de 3 m de comprimento e 2 mm de diâmetro interno apresenta uma de suas extremidades fechada com uma placa de catalisador não poroso e a outra extremidade está em contato com um composto A na concentração fixa igual a 1 kgmol cdot m^-3. O composto A reage na superfície do catalisador segundo a taxa: (r)=2,5 times 10^-8 times CA s, onde (r) é dado em kgmol.s ^-1 m^-3. A concentração de B na extremidade aberta do capilar é desprezível. Sabendo-se que a a difusividade de A em B é igual a 5,2 times 10^-8 m^2.s, calcule o fluxo e a taxa de consumo de A no capilar. Qual a expressão para o perfil de concentração de A e B no capilar, sabendo que a reação é de isomerização?

Passo 1

O enunciado descreve difusão unidimensional estacionária de A num capilar de comprimento L=3,m e raio interno r=1,mm, com concentração fixa CA(0)=C0=1 kg mol m ^-3 na extremidade aberta (x=0), e reação de primeira ordem na superfície do catalisador que fecha o capilar (x=L) com velocidade direta proporcional à concentração na superfície:
rs = ks,CA(L),
sendo ks=2,5times10^-8,m,s ^-1. A difusividade é DAB=5,2times10^-8,m ^2/s.
Precisamos achar
1. o fluxo difusivo de A,
2. a taxa total de consumo de A no capilar,
3. as expressões para o perfil de concentração de A e de B (reação de isomerização Ato B).

Passo 2

Em regime estacionário sem reação volumétrica no interior do capilar, o balanço de massa para A
d^2CAdx^2 =0,
cuja solução geral é
CA(x)=A + B,x
As condições de contorno são
CA(0)=C0=1,
e no x=L a difusão que chega ao catalisador é consumida pela reação de superfície:
-DAB,dCAdx|x=L ;=; rs ;=; ks,CA(L)

Passo 3

Das c.c.:
1. Em x=0: A + Bcdot0 = C0 implies A=C0.
2. Em x=L:
-DAB,B = ksl(A + B,Lr) ;Longrightarrow; -DAB,B = ks,l(C0 + B,Lr)
Rearranjando,
-DAB,B = ks,C0 + ks,L,B ;Longrightarrow; B,l(ksL + DABr) = -ks,C0 ;Longrightarrow; B = -ks,C0DAB + ksL,

Passo 4

Logo o perfil de concentração de A é
CA(x) = C0 ;+; B,x = C0 ;-;ks,C0DAB + ksL;x = C0,l[,1 - ks,xDAB + ksLr]
Em particular em x=L,
CA(L) = C0,DABDAB + ksL

Passo 5

O fluxo difusivo de A (magnitude) é
J = -DAB,dCAdx|x=L = DAB,C0 - CA(L)L = DAB,C0L, ksLDAB + ksL = DAB,ksDAB + ksL;C0
Substituindo valores numéricos:
DAB=5,2times10^-8,; ks=2,5times10^-8,; L=3,; C0=1
J = 5,2times10^-8times 2,5times10^-85,2times10^-8+2,5times10^-8times3 approx 1,02times10^-8 l[kgmol,m^-2s^-1r]

Passo 6

A taxa total de consumo de A no capilar é o fluxo vezes a área da seção transversal Ac=pi r^2=pi(10^-3)^2:
dotnA = J;Ac approx 1,02times10^-8timespitimes10^-6 approx 3,22times10^-14 l[kgmol,s^-1r]

Passo 7

Para B (isomerização Ato B estequiometria 1: 1) há geração na superfície x=L e difusão inversa. Pelo mesmo raciocínio,
d^2CBdx^2=0, CB(0)=0, -DAB,dCBdx|L = -rs = -,ks,CA(L),
resultando em perfil linear
CB(x) = ks,CA(L)DAB+ksL;x = C0,ksDAB+ksL;x

Resposta

Fluxo de A:
J approx 1,02times10^-8 l[kgmol,m^-2s^-1r]
Taxa de consumo de A:
dotnAapprox 3,22times10^-14 l[kgmol,s^-1r]
Perfis de concentração:
CA(x) = C0,l[,1 - ks,xDAB + ksLr], CB(x) = C0,ksDAB + ksL;x

Exercícios relacionados