9^a Questão) Uma gota de um líquido B de 1,2 cm de raio está exposta a um gás A ( 70 bar) solúvel em B(SA B=1,0 times 10^-4 gmol cdot m^-3 bar^-1). Sabendo-se que A reage com B de acordo com a equação:
A(g)+B(sol) longrightarrow C(sol)
Cuja taxa é dada por:
(-rA^prime prime prime)=kv CA
Qual o perfil de concentração na gota e qual a taxa de reação, sabendo-se que DA B=7,5 times 10^-3 m^2 s^-1 e kv=1,2 times 10^-2 s^-1 ?

Passo 1

O enunciado descreve uma gota esférica de raio R=1,2 cm=0,012 m contendo o líquido B, exposta ao gás A sob pressão PA=70 bar. O gás A dissolve-se na interface de acordo com a lei de Henry
Cs = SAB,PA
com SAB=1,0times10^-4 gmol,m^-3,bar^-1, e no interior da gota A reage com B segundo
A(sol) + B(sol) longrightarrow C(sol),
com taxa volumétrica
-rA''' = kv,CA(r)
Precisamos achar o perfil estacionário de concentração CA(r) dentro da gota e a taxa total de reação (em gmol/s), usando DAB=7,5times10^-3 m^2/s e kv=1,2times10^-2 s^-1.

Passo 2

Escrevemos a equação de balanço em regime permanente, simetria esférica e reação de primeira ordem em A:
0 = DAB,nabla^2 CA(r) ;-; kv,CA(r),
onde
nabla^2 C = 1r^2,ddr!l(r^2,dCdrr)
Definimos
beta^2 = kvDAB,
e impomos as condições de contorno
(i) finitude em r=0: dCAdr|r=0=0, (ii) concentração na superfície r=R: CA(R)=Cs=SAB,PA çãí

Passo 3

A solução geral da equação
1r^2ddr!l(r^2,dCdrr) ;-; beta^2,C =0
é dada em termos de funções hiperbólicas. Aplicando as condições, obtém\‐se
CA(r) = Cs;sinh(beta,r)/( beta,r)sinh(beta,R)/( beta,R)
Isso satisfaz CA(R)=Cs e mantém CA finita em r=0.

Passo 4

Para a taxa total de reação, usamos que
taxa total = integralgota kv,CA(r),dV = 4pi integral0^R kv,CA(r),r^2,dr
Alternativamente, podemos obter a mesma taxa via fluxo de difusão na superfície:
JA = -DAB,dCAdrg|r=R, dotN = 4pi R^2,JA
Substituindo a expressão de CA(r) e derivando, chega\‐se ao resultado exato
dotN =4pi,R,DAB,Cs;l[beta Rcoth(beta R)-1r]

Passo 5

Calculamos os parâmetros numéricos:
Cs = SAB,PA = 1,0times10^-4times70 = 7,0times10^-3 gmol/m^3,
beta = raizkvDAB = raiz1,2times10^-27,5times10^-3 approx1,265;m^-1,
beta R = 1,265times0,012 approx0,01518 ll1
Para beta Rll1, usa\‐se a aproximação
beta Rcoth(beta R)-1 approx (beta R)^23,
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dotN approx 4pi R,DAB,Cs;(beta R)^23 =4pi R,DAB,Cs;kv,R^23,DAB = 4pi R^33,kv,Cs
Isso corresponde à reação quase uniforme no volume. Numericamente:
4pi R^33 = 4pi,(0,012)^33 approx7,24times10^-6 m^3,
dotN approx7,24times10^-6times1,2times10^-2times7,0times10^-3 approx6,1times10^-10 gmol/s

Resposta

Perfil de concentração no interior da gota:
CA(r) = Cs;sinh(beta,r)/( beta,r)sinh(beta,R)/( beta,R), beta=raizkvDAB, Cs=SABPA
Taxa total de reação (aprox. para beta Rll1):
dot N approx 4pi R^33,kv,Cs approx6,1times10^-10 gmol/s

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