6^a Questão) Carvão pulverizado, que pode ser aproximado como esferas de carbono puro de raio igual a 1,0 mm, é queimado em oxigênio puro a 1450 K e 1 atm . O oxigênio é transferido para a superfície da partícula por difusão, onde ele é consumido na reação:
C(s)+O2(g) longrightarrow C O2(g)
A taxa de reação superficial é (r)=-k^prime prime CO2, onde k^prime prime=0,02 m cdot s^-1. Desprezando a variação do raio da partícula, determine a taxa de consumo do O2 no estado estacionário em kgmol.s ^-1 e depois aplicando a hipótese do estado pseudo-estacionário, calcule como o raio varia com o tempo. A 1450 K , o coeficiente de difusão binária para o O2 em CO2 é de 1,71 times 10^-4 m^2 s^-1. rhos=2,0 times 10^3 kg m^-3

Passo 1

O enunciado trata de partículas esféricas de carvão (raio inicial R0=1,0times10^-3,m) consumidas em oxigênio puro a 1450 K e 1 atm. Há transferência de oxigênio por difusão até a superfície e reação superficial de primeira ordem em CO2. Vamos aplicar o balanço de massa em regime estacionário para encontrar a taxa de consumo de O2, e depois, sob hipótese pseudo-estacionária, obter a equação diferencial para a variação de R(t) e integrá-la.

Passo 2

Em regime estacionário a taxa difusiva se iguala à taxa de reação na superfície. Chamando de Cs a concentração de O2 na superfície e de Cinfty a concentração no bulk, temos para difusão em esfera
dot Ndif = 4pi,DAB,R,l(Cinfty-Csr)
e para reação superficial
dot Nrx = k'',Cs,4pi,R^2
Igualando dot Ndif=dot Nrx resulta
DABl(Cinfty-Csr)=k'',R,Cs Longrightarrow Cs=DABDAB+k'',R;Cinfty
Aí a taxa molar de consumo de O2 é
dot NO2 = dot Nrx = 4pi,R^2,k'';Cs =4pi,R^2,k'';DABDAB+k'',R;Cinfty

Passo 3

Substituindo R=1,0times10^-3, m, DAB=1,71times10^-4,m^2/s, k''=0,02,m/s e
Cinfty=PRuT =1,01325times10^58,314cdot1450 approx8,41;mol/m^3,
obtém-se
dot NO2 =4pi(1,0times10^-3)^2,0,02, 1,71times10^-41,71times10^-4+0,02cdot1,0times10^-3 ;8,41 approx1,89times10^-6;mol/s
Em kmol/s:
dot NO2=1,89times10^-9;kmol/s

Passo 4

Sob hipótese pseudo-estacionária o perfil de concentração se ajusta muito mais rápido que a variação do raio. O balanço de massa de carbono na partícula dá
-,dmdt =dot NC,MC e m=rhos,tfrac4pi3R^3,
onde dot NC=dot NO2 (estequiometria 1:1) e MC=0,012;kg/mol. Daí
dmdt =rhos,4pi R^2,dRdt =-,dot NO2,MC ;Longrightarrow; dRdt =-MCrhos,4pi R^2;dot NO2
Substituindo dot NO2 do passo 2 resulta
dRdt =-MC,k'',DAB,Cinfty rhos,l(DAB+k'',Rr)

Passo 5

Separamos variáveis e integramos de R0 a R e de 0 a t:
integralR0^Rl(DAB+k'',R'r),dR' =-MC,k'',DAB,Cinfty,trhos
A integral do lado esquerdo é
DAB(R-R0)+k''2(R^2-R0^2) =-MC,k'',DAB,Cinftyrhos,t
Reorganizando e completando o quadrado define-se a=DAB/k'', obtendo-se a solução explícita
R(t) =-,a +raizl(R0+ar)^2 -2,MC,DAB,Cinftyrhos;t

Resposta

Taxa de consumo de oxigênio em regime estacionário por partícula:
dot NO2 =1,89times10^-6;mol/s ,=,1,89times10^-9;kmol/s
Variação do raio com o tempo sob hipótese pseudo-estacionária:
R(t) =-,DABk'' +raizl(R0+DABk''r)^2 -2,MC,DAB,Cinftyrhos,t,

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