6 QUESTÃO ( 1,0 ): Uma esfera de naftaleno sólido e não poroso, uma “bola de naftalina”, está suspensa em ar parado. A bola de naftaleno sublima lentamente, liberando o naftaleno no ar circundante por um processo limitado pela difusão molecular. Estime o tempo necessário para reduzir o diâmetro de 2 para 0,5 \mathrm{~cm} quando o ar circundante estiver a 347 K e 1,013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. O naftaleno tem um peso molecular de 128 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, uma densidade sólida de 1,145 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, uma difusividade no ar de 8,19 \times 10^{6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e exerce uma pressão de vapor de 5 \mathrm{Torr}(666 \mathrm{~Pa}) a 347 K .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Temperatura: T=347\\ \mathrm{K}.
  • Pressão ambiente: 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (não será usada diretamente).
  • Pressão de vapor do naftaleno à T: p_s=666\\ \mathrm{Pa}.
  • Peso molecular do naftaleno: M=128\\ \mathrm{g/mol}.
  • Densidade sólida do naftaleno: \rho_s=1{,}145\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Difusividade no ar (enunciado apresenta): D (o enunciado diz 8{,}19\times10^{6}\\ \mathrm{m^2/s}, que é fisicamente impossível). Vou supor que houve um erro de tipografia e que o valor correto é D=8{,}19\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (valor típico para vapores orgânicos em ar a essa ordem de magnitude). Se essa suposição estiver errada, o resultado muda proporcionalmente.
  • Diâmetro inicial: d_0=2{,}0\\ \mathrm{cm}\Rightarrow r_0=1{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro final pedido: d_1=0{,}5\\ \mathrm{cm}\Rightarrow r_1=0{,}25\\ \mathrm{cm}=0{,}0025\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
  • Estimar o tempo necessário para a bola de naftaleno reduzir de diâmetro 2{,}0\\ \mathrm{cm} para 0{,}5\\ \mathrm{cm}, assumindo sublimação limitada por difusão molecular no ar parado.

Passo 2

Entendendo o modelo físico e a fórmula que vamos usar (aulas curtas, sem pulo de etapas).
Quando a sublimação é controlada pela difusão molecular em ar parado e o sólido é uma esfera isolada, pode-se assumir um regime quase-estacionário para o campo de concentração do vapor de naftaleno: a cada instante o perfil de concentração ao redor da esfera satisfaz a equação de difusão estacionária (forma radial). Nessa situação a solução analítica dá um fluxo total de vapor que depende do raio da esfera e da diferença de concentração entre a superfície e o infinito.
Fórmula básica (derivarei na prática no próximo passo):
  • A taxa molar total de saída do vapor por difusão é
\dot{n} = 4\pi D r (C_s - C_\infty),
onde:
  • \dot{n} é a taxa molar de sublimação (mol/s),
  • D é a difusividade do naftaleno no ar ( \mathrm{m^2/s}),
  • r é o raio instantâneo da esfera ( \mathrm{m}),
  • C_s é a concentração molar do vapor na superfície ( \mathrm{mol/m^3}),
  • C_\infty é a concentração molar longe da esfera (aqui vamos tomar C_\infty\approx 0, ou seja, ar inicialmente limpo).
Explicação do porquê dessa forma (resumida):
  • Em coordenadas esféricas, a equação estacionária de difusão para a concentração C(r) \frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dC}{dr}\right)=0. Integrando e aplicando as condições C(r\to\infty)=C_\infty e C(r=r_s)=C_s obtém-se C(r)=C_\infty+(C_s-C_\infty)\dfrac{r_s}{r}. O fluxo radial por área é J=-D\,\dfrac{dC}{dr} e, na superfície, J_s=D\dfrac{C_s-C_\infty}{r_s}. Multiplicando por a área 4\pi r_s^2 chega-se a \dot{n}=4\pi D r_s (C_s-C_\infty).

Passo 3

Relacionando a perda de massa com a variação do raio da esfera.
Massa da esfera (sólida) em função do raio:
m=\rho_s \,V=\rho_s\left(\tfrac{4}{3}\pi r^3\right).
Derivando em relação ao tempo:
\frac{dm}{dt}=\rho_s \,4\pi r^2 \frac{dr}{dt}.
A perda de massa devido à sublimação é -\dot{m}, com \dot{m}=\dot{n}\,M (onde M é a massa por mol do naftaleno). Assim:
\frac{dm}{dt}=-\dot{m}=-\dot{n}M.
Substituindo \dot{n}=4\pi D r (C_s-C_\infty) e a expressão para \frac{dm}{dt}:
\rho_s\,4\pi r^2\frac{dr}{dt} = -\,4\pi D r (C_s-C_\infty)M.
Cancelar 4\pi e isolar \dfrac{dr}{dt}:
\rho_s r^2\frac{dr}{dt} = - D r (C_s-C_\infty)M \quad\Rightarrow\quad \frac{dr}{dt} = -\frac{D (C_s-C_\infty)M}{\rho_s\,r}.
Isso é uma equação separável. Separando e integrando de r_0 para r_1 e t=0 para t:
\int_{r_0}^{r_1} r\,dr = -\frac{D (C_s-C_\infty)M}{\rho_s}\int_{0}^{t} dt.
A integral do lado esquerdo dá \tfrac{1}{2}(r_1^2-r_0^2). Assim:
\frac{1}{2}\left(r_1^2-r_0^2\right) = -\frac{D (C_s-C_\infty)M}{\rho_s}\,t.
Rearranjando para t (e lembrando que r_1<r_0 então r_1^2-r_0^2<0 e t>0):
t = \frac{\rho_s}{2 D (C_s-C_\infty)M}\left(r_0^2-r_1^2\right).

Passo 4

Calcular C_s (concentração molar na superfície) usando a lei dos gases ideais e fazer as conversões de unidade.
Lei dos gases ideais para concentração molar:
C_s=\frac{p_s}{R T},
onde R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Conversões e números:
  • Converter M: M=128\\ \mathrm{g/mol}=0{,}128\\ \mathrm{kg/mol} (vai entrar apenas como massa por mol).
  • Converter \rho_s: \rho_s=1{,}145\\ \mathrm{g/cm^3}=1145\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Difusividade (assumida com correção de tipografia): D=8{,}19\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Pressão de vapor: p_s=666\\ \mathrm{Pa}.
Calcule C_s:
C_s=\frac{666}{8{,}314462618\cdot 347} =\frac{666}{2885{,}1185}\approx 0{,}2309\\ \mathrm{mol/m^3}.
Aqui também assumimos C_\infty\approx 0 (ar inicialmente praticamente sem naftaleno). Se houver concentração ambiente significativa, substituir C_\infty por esse valor e recomputar.

Passo 5

Substituir números na fórmula do tempo.
Fórmula:
t = \frac{\rho_s}{2 D C_s M}\left(r_0^2-r_1^2\right).
Calcule passo a passo os termos numéricos:
  • C_s\approx 0{,}230878\\ \mathrm{mol/m^3}.
  • D C_s M = (8{,}19\times10^{-6})\cdot(0{,}230878)\cdot(0{,}128).
    Primeiro (C_s M)=0{,}230878\times0{,}128\approx 0{,}0295562.
    Então D C_s M \approx 8{,}19\times10^{-6}\times0{,}0295562 \approx 2{,}4209\times10^{-7}.
  • 2 D C_s M \approx 4{,}8418\times10^{-7}.
  • \rho_s/(2 D C_s M) \approx 1145 / (4{,}8418\times10^{-7}) \approx 2{,}36498\times10^{9}\\ \mathrm{s/m^2}.
  • r_0^2-r_1^2 = (0{,}01)^2-(0{,}0025)^2 = 1{,}0000\times10^{-4}-6{,}25\times10^{-6} = 9{,}375\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
Portanto
t \approx 2{,}36498\times10^{9}\times 9{,}375\times10^{-5} \approx 2{,}21749\times10^{5}\\ \mathrm{s}.
Converter para unidades mais familiares:
  • Em horas: t\approx \dfrac{2{,}21749\times10^{5}}{3600}\approx 61{,}6\\ \mathrm{h}.
  • Em dias: t\approx \dfrac{61{,}6}{24}\approx 2{,}57\\ \mathrm{dias}.

Passo 6

Comentários finais, verificação das hipóteses e sensibilidade.
  • Resultado final estimado: cerca de 2{,}2\times10^{5}\\ \mathrm{s} (≈ 61{,}6 horas ≈ 2{,}57 dias).
  • Hipóteses importantes feitas:
    1. Sub-limitação puramente por difusão molecular (sem convecção natural significativa).
    2. Perfil de concentração quase-estacionário (válido se a esfera muda lentamente).
    3. Concentração remota C_\infty\approx0.
    4. Usei D=8{,}19\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}, corrigindo o que parecia um erro de tipografia no enunciado. Se o valor real for diferente, t escala inversamente com D (por exemplo, se D fosse 10 vezes menor, o tempo seria 10 vezes maior).
  • Essas hipóteses costumam ser aceitáveis para uma “bola de naftalina” em ar quase parado; se houver correntes de ar, o processo será mais rápido (convecção aumenta transporte).

Resposta

t \approx 2{,}22\times10^{5}\\ \mathrm{s} \approx 61{,}6\\ \mathrm{h} \approx 2{,}57\\ \mathrm{dias}.

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