6 QUESTÃO ( 1,0 ): Uma esfera de naftaleno sólido e não poroso, uma “bola de naftalina”, está suspensa em ar parado. A bola de naftaleno sublima lentamente, liberando o naftaleno no ar circundante por um processo limitado pela difusão molecular. Estime o tempo necessário para reduzir o diâmetro de 2 para
quando o ar circundante estiver a 347 K e
. O naftaleno tem um peso molecular de
, uma densidade sólida de
, uma difusividade no ar de
e exerce uma pressão de vapor de
a 347 K .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Temperatura:
. - Pressão ambiente:
(não será usada diretamente). - Pressão de vapor do naftaleno à
: . - Peso molecular do naftaleno:
. - Densidade sólida do naftaleno:
. - Difusividade no ar (enunciado apresenta):
(o enunciado diz , que é fisicamente impossível). Vou supor que houve um erro de tipografia e que o valor correto é (valor típico para vapores orgânicos em ar a essa ordem de magnitude). Se essa suposição estiver errada, o resultado muda proporcionalmente. - Diâmetro inicial:
. - Diâmetro final pedido:
.
O que o enunciado pede:
- Estimar o tempo necessário para a bola de naftaleno reduzir de diâmetro
para , assumindo sublimação limitada por difusão molecular no ar parado.
Passo 2
Entendendo o modelo físico e a fórmula que vamos usar (aulas curtas, sem pulo de etapas).
Quando a sublimação é controlada pela difusão molecular em ar parado e o sólido é uma esfera isolada, pode-se assumir um regime quase-estacionário para o campo de concentração do vapor de naftaleno: a cada instante o perfil de concentração ao redor da esfera satisfaz a equação de difusão estacionária (forma radial). Nessa situação a solução analítica dá um fluxo total de vapor que depende do raio da esfera e da diferença de concentração entre a superfície e o infinito.
Fórmula básica (derivarei na prática no próximo passo):
- A taxa molar total de saída do vapor por difusão é
onde:
-
é a taxa molar de sublimação (mol/s), -
é a difusividade do naftaleno no ar ( ), -
é o raio instantâneo da esfera ( ), -
é a concentração molar do vapor na superfície ( ), -
é a concentração molar longe da esfera (aqui vamos tomar , ou seja, ar inicialmente limpo).
Explicação do porquê dessa forma (resumida):
- Em coordenadas esféricas, a equação estacionária de difusão para a concentração
dá . Integrando e aplicando as condições e obtém-se . O fluxo radial por área é e, na superfície, . Multiplicando por a área chega-se a .
Passo 3
Relacionando a perda de massa com a variação do raio da esfera.
Massa da esfera (sólida) em função do raio:
Derivando em relação ao tempo:
A perda de massa devido à sublimação é
, com
(onde
é a massa por mol do naftaleno). Assim:
Substituindo
e a expressão para
:
Cancelar
e isolar
:
Isso é uma equação separável. Separando e integrando de
para
e
para
:
A integral do lado esquerdo dá
. Assim:
Rearranjando para
(e lembrando que
então
e
):
Passo 4
Calcular
(concentração molar na superfície) usando a lei dos gases ideais e fazer as conversões de unidade.
Lei dos gases ideais para concentração molar:
onde
.
Conversões e números:
- Converter
: (vai entrar apenas como massa por mol). - Converter
: . - Difusividade (assumida com correção de tipografia):
. - Pressão de vapor:
.
Calcule
:
Aqui também assumimos
(ar inicialmente praticamente sem naftaleno). Se houver concentração ambiente significativa, substituir
por esse valor e recomputar.
Passo 5
Substituir números na fórmula do tempo.
Fórmula:
Calcule passo a passo os termos numéricos:
-
. -
.
Primeiro.
Então. -
. -
-
Portanto
Converter para unidades mais familiares:
- Em horas:
- Em dias:
Passo 6
Comentários finais, verificação das hipóteses e sensibilidade.
- Resultado final estimado: cerca de
(≈ horas ≈ dias). - Hipóteses importantes feitas:
- Sub-limitação puramente por difusão molecular (sem convecção natural significativa).
- Perfil de concentração quase-estacionário (válido se a esfera muda lentamente).
- Concentração remota
. - Usei
, corrigindo o que parecia um erro de tipografia no enunciado. Se o valor real for diferente, escala inversamente com (por exemplo, se fosse 10 vezes menor, o tempo seria 10 vezes maior).
- Essas hipóteses costumam ser aceitáveis para uma “bola de naftalina” em ar quase parado; se houver correntes de ar, o processo será mais rápido (convecção aumenta transporte).