Questão 1) A partir das equações que regem o movimento do projétil dadas acima, demonstre a expressão para o alcance horizontal
. Qual é a unidade de
? Faça uma análise dimensional.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Demonstrar a expressão do alcance horizontal
- Determinar a unidade de
fazendo a análise dimensional.
Informações relevantes dadas (e que usaremos):
e as equações do movimento do projétil no plano (considerando ausência de resistência do ar,
constante e lançamento e aterrissagem na mesma altura):
Não inicio a resolução aqui; apenas listei o que o problema pede e os dados que vamos usar.
Passo 2
Entendendo o que significa “alcance horizontal”
: é a distância horizontal percorrida pelo projétil desde o instante do lançamento até o instante em que ele volta à mesma altura de lançamento (aqui assumimos altura final igual à altura inicial, normalmente zero). Em termos das equações acima, isso ocorre no tempo
tal que
. Portanto, a estratégia é (i) achar o tempo de voo
resolvendo
para
e (ii) substituir
em
para obter
.
Passo 3
Vou resolver
. A equação é
Esta é uma equação polinomial em
. Posso fatorar
em evidência:
As soluções são
(o instante do lançamento) e a outra solução obtida por
Passo 4
Resolvo para o tempo de voo
(tomando a solução
):
Isso é o tempo total que o projétil permanece no ar até voltar à mesma altura de onde foi lançado.
Passo 5
Agora calculo o alcance horizontal
como
. A expressão para
é
Substituindo
:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Multiplicando os termos:
Passo 7
Aplicando a identidade trigonométrica fundamental
podemos escrever
que é exatamente a expressão pedida. Aqui finalizei a demonstração algébrica completa, mostrando de onde vem cada passo.
Passo 8
Agora faço a análise dimensional para verificar a unidade de
. Denoto por
a dimensão física de uma grandeza. As dimensões de velocidade e aceleração são:
onde
representa dimensão de comprimento e
dimensão de tempo. A dimensão de
dada pela fórmula é
Passo 9
Calculo passo a passo as potências:
então
Portanto
tem dimensão de comprimento.
Passo 10
Interpretando em unidades do Sistema Internacional (SI): a dimensão
corresponde ao metro, símbolo
. Assim a unidade de
é o metro
. Isso também fica claro fazendo a análise de unidades diretamente na fórmula numérica:
tem unidades
.
Resposta
unidade de