Questão 1) A partir das equações que regem o movimento do projétil dadas acima, demonstre a expressão para o alcance horizontal R=\frac{v_{0}^{2} \operatorname{sen}(2 \theta)}{g}. Qual é a unidade de R ? Faça uma análise dimensional.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Demonstrar a expressão do alcance horizontal
R=\frac{v_{0}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{g}.
  1. Determinar a unidade de R fazendo a análise dimensional.
Informações relevantes dadas (e que usaremos):
\text{velocidade inicial: } v_{0},
\text{ângulo de lançamento: } \theta,âç
\text{aceleração gravitacional (módulo): } g,çãó
e as equações do movimento do projétil no plano (considerando ausência de resistência do ar, g constante e lançamento e aterrissagem na mesma altura):
x(t)=v_{0}\cos\theta\;t,
y(t)=v_{0}\operatorname{sen}\theta\;t-\frac{1}{2}g\,t^{2}.
Não inicio a resolução aqui; apenas listei o que o problema pede e os dados que vamos usar.

Passo 2

Entendendo o que significa “alcance horizontal” R: é a distância horizontal percorrida pelo projétil desde o instante do lançamento até o instante em que ele volta à mesma altura de lançamento (aqui assumimos altura final igual à altura inicial, normalmente zero). Em termos das equações acima, isso ocorre no tempo t>0 tal que y(t)=0. Portanto, a estratégia é (i) achar o tempo de voo T resolvendo y(T)=0 para T>0 e (ii) substituir T em x(t) para obter R=x(T).

Passo 3

Vou resolver y(t)=0. A equação é
y(t)=v_{0}\operatorname{sen}\theta\;t-\frac{1}{2}g\,t^{2}=0.
Esta é uma equação polinomial em t. Posso fatorar t em evidência:
t\!\left(v_{0}\operatorname{sen}\theta-\frac{1}{2}g\,t\right)=0.
As soluções são t=0 (o instante do lançamento) e a outra solução obtida por
v_{0}\operatorname{sen}\theta-\frac{1}{2}g\,t=0.

Passo 4

Resolvo para o tempo de voo T (tomando a solução t>0):
v_{0}\operatorname{sen}\theta=\frac{1}{2}g\,T
\Rightarrow T=\frac{2v_{0}\operatorname{sen}\theta}{g}.
Isso é o tempo total que o projétil permanece no ar até voltar à mesma altura de onde foi lançado.

Passo 5

Agora calculo o alcance horizontal R como x(T). A expressão para x(t) é
x(t)=v_{0}\cos\theta\;t.
Substituindo t=T:
R=x(T)=v_{0}\cos\theta\;T.

Passo 6

Substituindo T=\dfrac{2v_{0}\operatorname{sen}\theta}{g} na expressão de R:
R=v_{0}\cos\theta\;\left(\frac{2v_{0}\operatorname{sen}\theta}{g}\right).
Multiplicando os termos:
R=\frac{2v_{0}^{2}\operatorname{sen}\theta\cos\theta}{g}.

Passo 7

Aplicando a identidade trigonométrica fundamental
\operatorname{sen}(2\theta)=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta,
podemos escrever
R=\frac{v_{0}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{g},
que é exatamente a expressão pedida. Aqui finalizei a demonstração algébrica completa, mostrando de onde vem cada passo.

Passo 8

Agora faço a análise dimensional para verificar a unidade de R. Denoto por [\cdot] a dimensão física de uma grandeza. As dimensões de velocidade e aceleração são:
[v_{0}]=L\,T^{-1},
[g]=L\,T^{-2},
onde L representa dimensão de comprimento e T dimensão de tempo. A dimensão de R dada pela fórmula é
[R]=\frac{[v_{0}]^{2}}{[g]}=\frac{(L\,T^{-1})^{2}}{L\,T^{-2}}.

Passo 9

Calculo passo a passo as potências:
(L\,T^{-1})^{2}=L^{2}\,T^{-2},
então
[R]=\frac{L^{2}\,T^{-2}}{L\,T^{-2}}=L^{2-1}\,T^{-2+2}=L.
Portanto R tem dimensão de comprimento.

Passo 10

Interpretando em unidades do Sistema Internacional (SI): a dimensão L corresponde ao metro, símbolo \mathrm{m}. Assim a unidade de R é o metro \mathrm{(m)}. Isso também fica claro fazendo a análise de unidades diretamente na fórmula numérica: \dfrac{v_{0}^{2}}{g} tem unidades \dfrac{(\mathrm{m/s})^{2}}{\mathrm{m/s^{2}}}=\mathrm{m}.

Resposta

R=\dfrac{v_{0}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{g}
unidade de R: \mathrm{m}

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