Um cubo maciço de lado
, uma esfera maciça de raio
e um hemisfério maciço de raio
, todos feitos do mesmo material, são mantidos à temperatura de 300 K em um ambiente cuja temperatura é 350 K . Ordene os objetos de acordo com a taca líquida com a qual a radiação térmica é trocada com o ambiente, em ordem decrescente.
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão tá pedindo: você tem três objetos maciços, todos de material igual e temperatura interna de 300 K, imersos num ambiente de 350 K. São eles:
- Um cubo de aresta
. - Uma esfera de raio
. - Um hemisfério de raio
.
O que precisamos: descobrir qual deles “solta” mais calor por radiação (ou seja, qual tem maior troca líquida com o ambiente) e ordenar do maior pro menor. O conteúdo principal aqui é a Lei de Stefan–Boltzmann para radiação térmica, que diz que a potência radiada líquida depende da área superficial e das temperaturas à quarta potência.
Passo 2
Primeiro, a teoria: a taxa líquida de radiação trocada entre um objeto e o ambiente é dada por
onde
• é a emissividade (mesma para todos),
• é a constante de Stefan–Boltzmann (também a mesma),
• é a área externa do objeto,
• e
são as temperaturas (em kelvin) do ambiente e do objeto.
•
•
•
•
Como os três estão à mesma temperatura interna (300 K) e no mesmo ambiente (350 K),
,
e o fator
são idênticos para todos. Logo, a troca líquida
só vai depender da área
. Quem tiver maior área exterior perde (ou ganha) mais calor.
Passo 3
Agora, vamos às áreas de cada forma (todas em função de
):
-
Cubo de aresta
:
Área. -
Esfera de raio
:
Área. -
Hemisfério de raio
: - A parte curva:
, - Mais a base circular:
.
Então
- A parte curva:
Passo 4
Vamos comparar numericamente (lembrando que
):
- Cubo:
. - Hemisfério:
. - Esfera:
.
Logo, em ordem decrescente de área (e, portanto, de
):
Esfera > Hemisfério > Cubo.
Esfera > Hemisfério > Cubo.
Resposta
Em ordem decrescente da taxa líquida de radiação trocada com o ambiente, temos:
Esfera, Hemisfério, Cubo.
Esfera, Hemisfério, Cubo.