Um cubo maciço de lado r, uma esfera maciça de raio r e um hemisfério maciço de raio r, todos feitos do mesmo material, são mantidos à temperatura de 300 K em um ambiente cuja temperatura é 350 K . Ordene os objetos de acordo com a taca líquida com a qual a radiação térmica é trocada com o ambiente, em ordem decrescente.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo: você tem três objetos maciços, todos de material igual e temperatura interna de 300 K, imersos num ambiente de 350 K. São eles:
  • Um cubo de aresta .
  • Uma esfera de raio .
  • Um hemisfério de raio .
O que precisamos: descobrir qual deles “solta” mais calor por radiação (ou seja, qual tem maior troca líquida com o ambiente) e ordenar do maior pro menor. O conteúdo principal aqui é a Lei de Stefan–Boltzmann para radiação térmica, que diz que a potência radiada líquida depende da área superficial e das temperaturas à quarta potência.

Passo 2

Primeiro, a teoria: a taxa líquida de radiação trocada entre um objeto e o ambiente é dada por
dot Q = varepsilon,sigma,A,l(Tamb^4 - Tobj^4r)
onde
é a emissividade (mesma para todos),
é a constante de Stefan–Boltzmann (também a mesma),
é a área externa do objeto,
e são as temperaturas (em kelvin) do ambiente e do objeto.
Como os três estão à mesma temperatura interna (300 K) e no mesmo ambiente (350 K), , e o fator são idênticos para todos. Logo, a troca líquida só vai depender da área . Quem tiver maior área exterior perde (ou ganha) mais calor.

Passo 3

Agora, vamos às áreas de cada forma (todas em função de Arm hemisfério = 2pi r^2 + pi r^2 = 3pi r^2 ):
  1. Cubo de aresta :
    Área .
  2. Esfera de raio :
    Área .
  3. Hemisfério de raio :
    • A parte curva: ,
    • Mais a base circular: .
      Então
    é

Passo 4

Vamos comparar numericamente (lembrando que ):
  • Cubo: .
  • Hemisfério: .
  • Esfera: .
Logo, em ordem decrescente de área (e, portanto, de ):
Esfera > Hemisfério > Cubo.

Resposta

Em ordem decrescente da taxa líquida de radiação trocada com o ambiente, temos:
Esfera, Hemisfério, Cubo.

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