Questão 4 - Uma placa plana quadrada de lado 2 m é mantida aquecida a uma temperatura uniforme de 230^{\circ} \mathrm{C} por meio de um fio aquecedor elétrico embutido. Se o ar atmosférico estiver fluindo sobre a placa a 60 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e com temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}, qual é a potência elétrica requerida?
Dados: \mu=2,301 \times 10^{-5} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, \varrho=0,871 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{C}_{\mathrm{p}}=1014 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e k =0,0338 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a potência elétrica requerida para manter uma placa quadrada de lado 2\\ \mathrm{m} aquecida a 230^\circ\mathrm{C} quando o ar a 25^\circ\mathrm{C} escoa sobre ela a 60\\ \mathrm{m/s}.
Informações dadas (vou listar todas em TeX):
\begin{aligned} &\text{Lado da placa: } L_{\text{lado}} = 2\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Temperatura da placa: } T_s = 230^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Temperatura do ar: } T_\infty = 25^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Velocidade do ar: } U_\infty = 60\\ \mathrm{m/s} \\\ &\mu = 2{,}301\times 10^{-5}\\ \mathrm{N\cdot s/m^2} \\\ &\rho = 0{,}871\\ \mathrm{kg/m^3} \\\ &C_p = 1014\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \\\ &k = 0{,}0338\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} \end{aligned}
Observação importante: não foi indicado que um dos lados está isolado, portanto vou assumir que ambos os lados da placa trocam calor por convecção com o ar (caso contrário, repetir o cálculo com área de apenas um lado dá metade da potência).

Passo 2

Estratégia e conceitos que vou usar (explicando didaticamente):
  • Em regime permanente, a potência elétrica fornecida deve equilibrar a potência perdida por convecção para o ar:
\dot{Q} = h\,A\,\Delta T
onde h é o coeficiente convectivo médio, A é a área total exposta ao escoamento e \Delta T = T_s - T_\infty.
  • Para encontrar h em escoamento externo sobre uma placa plana, usamos o número de Nusselt médio \overline{Nu}_L sobre o comprimento característico L e a relação
h = \frac{\overline{Nu}_L\,k}{L}.
Aqui \overline{Nu}_L é adimensional e correlaciona o transporte convectivo com o difusivo.
  • As correlações empíricas para \overline{Nu}_L dependem do regime do escoamento (laminar ou turbulento), que é avaliado pelo número de Reynolds:
Re_L = \frac{\rho\,U_\infty\,L}{\mu}.
Se Re_L \lesssim 5\times 10^5 o escoamento é basicamente laminar; se Re_L é maior que isso, há transição e regime turbulento domina. Para placas turbulentas (intervalo típico 5\times 10^5 < Re_L < 10^7) uma correlação comum para o Nu médio é
\overline{Nu}_L = 0{,}037\,Re_L^{4/5}\,Pr^{1/3},
onde o número de Prandtl é
Pr=\frac{\mu\,C_p}{k}.
Vou calcular Re_L e Pr, verificar o regime e então determinar \overline{Nu}_L, h e finalmente \dot{Q}.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds usando L igual ao comprimento característico do escoamento. Como a placa é quadrada de lado 2\\ \mathrm{m}, escolhemos L=2\\ \mathrm{m}. Calculemos:
Re_L=\frac{\rho\,U_\infty\,L}{\mu}=\frac{0{,}871\cdot 60\cdot 2}{2{,}301\times 10^{-5}}.
Faço as contas em etapas: 0{,}871\cdot 60\cdot 2 = 104{,}52. Então
Re_L=\frac{104{,}52}{2{,}301\times 10^{-5}}\approx 4{,}54\times 10^{6}.

Passo 4

Determinação do regime e escolha da correlação:
  • Como Re_L\approx 4{,}54\times 10^{6} > 5\times 10^{5}, o escoamento é predominantemente turbulento sobre a placa. Portanto uso a correlação turbulenta média
\overline{Nu}_L = 0{,}037\,Re_L^{4/5}\,Pr^{1/3}.
Antes de aplicar, calculo Pr.

Passo 5

Cálculo do número de Prandtl:
Pr=\frac{\mu\,C_p}{k}=\frac{2{,}301\times 10^{-5}\cdot 1014}{0{,}0338}.
Calcule passo a passo: 2{,}301\times 10^{-5}\cdot 1014 \approx 0{,}02333. Dividindo por 0{,}0338:
Pr \approx 0{,}691.

Passo 6

Cálculo de \overline{Nu}_L:
Primeiro Re_L^{4/5} = (4{,}54\times 10^{6})^{0{,}8}. Calculando numericamente obtém-se aproximadamente 1{,}94\times 10^{5}.
Em seguida Pr^{1/3}\approx 0{,}691^{1/3}\approx 0{,}884.
Agora
\overline{Nu}_L = 0{,}037\cdot (1{,}94\times 10^{5})\cdot 0{,}884 \approx 6{,}33\times 10^{3}.

Passo 7

Cálculo do coeficiente convectivo médio h:
h=\frac{\overline{Nu}_L\,k}{L}=\frac{6{,}33\times 10^{3}\cdot 0{,}0338}{2}.
Calcule:
h \approx 107{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Interpretação: isso significa que cada metro quadrado de superfície transfere cerca de 107{,}0\\ \mathrm{W} para cada kelvin de diferença entre placa e ar.

Passo 8

Cálculo da área total exposta A e da diferença de temperatura \Delta T:
  • Área de uma face da placa: A_{\text{face}} = 2\\ \mathrm{m}\times 2\\ \mathrm{m} = 4\\ \mathrm{m^2}.
  • Considerando ambos os lados expostos: A = 2\cdot 4\\ \mathrm{m^2} = 8\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_s - T_\infty = 230 - 25 = 205\\ \mathrm{K}.

Passo 9

Cálculo final da potência requerida:
\dot{Q} = h\,A\,\Delta T = 107{,}0\cdot 8\cdot 205.
Execute a conta:
\dot{Q} \approx 175{,}513\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Arredondamento e apresentação em unidades usuais:
\dot{Q} \approx 1{,}755\times 10^{5}\\ \mathrm{W}\quad(\approx 175{,}5\\ \mathrm{kW}).
Força final de incentivo: é um valor alto por causa da placa grande e da alta diferença de temperatura; é normal para aquecimento poderoso. Dá pra revisar suposições (por exemplo, só um lado exposto ou perdas por radiação) se precisar ajustar o resultado.

Resposta

\dot{Q}\approx 1,755\times 10^{5}\\ \mathrm{W} \approx 175{,}5\\ \mathrm{kW}

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