Questão 2 Caso existam, calcule os seguintes limites:
lim (x, y, z) (0,0,0) x^2+y^2+z^2x^2+y^3+z^4.

Passo 1

O enunciado pede o limite em várias variáveis
lim(x,y,z)to(0,0,0)x^2+y^2+z^2x^2+y^3+z^4
O conteúdo aqui é reconhecimento de que, se ao aproximar-se pela origem por caminhos diferentes obtemos valores distintos (ou um deles diverge), então o limite não existe.

Passo 2

Vamos ao caminho sobre o eixo x, isto é y=0 e z=0. Substituindo na função,
f(x,0,0)=x^2+0+0x^2+0+0=x^2x^2=1
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limxto0f(x,0,0)=1

Passo 3

Agora o caminho sobre o eixo y, com x=0 e z=0. Fica
f(0,y,0)=0+y^2+00+y^3+0=y^2y^3=1y
À medida que yto0, 1y tende a +infty se yto0^+ e a -infty se yto0^-. Então esse caminho não dá 1 nem um valor finito.

Passo 4

Podemos checar também o eixo z, com x=0 e y=0. Temos
f(0,0,z)=0+0+z^20+0+z^4=z^2z^4=1z^2,
que tende a +infty quando zto0.

Passo 5

Vimos que pelo eixo x o limite vale 1, mas pelos eixos y e z ele diverge. Como dois caminhos dão comportamentos diferentes, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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