Questão 1 Seja
a curva obtida pela interseção das superfícies
.
(a) Encontre uma parametrização para
;
(b) Encontre a reta tangente a
no ponto
.
(a) Encontre uma parametrização para
(b) Encontre a reta tangente a
Passo 1
O enunciado pede a interseção da superfície cilíndrica
com o plano
, ou seja, uma curva espacial
. Vamos usar parametrização de cilindro por um ângulo
e depois impor a equação do plano. Em seguida, para achar a reta tangente em
, vamos derivar a parametrização e avaliar no parâmetro correspondente a
.
Passo 2
Parametrizamos o cilindro por
Como o ponto
também está no plano
, temos
Logo, uma parametrização para
é
Passo 3
Para encontrar o parâmetro
de
, igualamos
o que dá
. A derivada é
logo no ponto
Passo 4
A reta tangente em
tem ponto
e vetor diretor
. Assim, em forma paramétrica:
ou seja
Resposta
(a)
(b)
(b)