Questão 1 Seja C a curva obtida pela interseção das superfícies x^2+y^2=1 e y+z=2.
(a) Encontre uma parametrização para C;
(b) Encontre a reta tangente a C no ponto P=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a interseção da superfície cilíndrica x^2+y^2=1 com o plano y+z=2, ou seja, uma curva espacial C. Vamos usar parametrização de cilindro por um ângulo t e depois impor a equação do plano. Em seguida, para achar a reta tangente em P=(0,1,1), vamos derivar a parametrização e avaliar no parâmetro correspondente a P.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro por
x(t)=cos t, y(t)=sin t
Como o ponto (x,y,z) também está no plano y+z=2, temos
z=2 - y = 2 - sin t
Logo, uma parametrização para C é
r(t)=l(cos t,;sin t,;2-sin tr)

Passo 3

Para encontrar o parâmetro t0 de P=(0,1,1), igualamos
cos t0=0, sin t0=1, 2-sin t0=1,
o que dá t0=pi/2. A derivada é
r'(t)=l(-sin t,;cos t,;-,cos tr),
logo no ponto t0=pi/2
r'l(tfracpi2r)=(-1,,0,,0)

Passo 4

A reta tangente em P tem ponto P=(0,1,1) e vetor diretor v=(-1,0,0). Assim, em forma paramétrica:
L(s)=(0,1,1)+s,(-1,0,0),
ou seja
x=-s, y=1, z=1

Resposta

(a) r(t)=l(cos t,;sin t,;2-sin tr)
(b) L(s)=(0,1,1)+s,(-1,0,0)

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