Questão 2: Um ciclista parte do repouso (
) com aceleração
e
. No mesmo instante (
) um garoto, situado na posição
da trajetória do ciclista, lança um gato verticalmente para cima como velocidade
. No instante seguinte
o ciclista apanha o gato exatamente a mesma altura do solo na qual ele foi jogado. Ignore forças de resistência.
a) (1pts) Escreva as equações horárias (de posição e velocidade) para o gato e para o ciclista
b) (2pts) Encontre uma expressão para b1 em termos de
e
(não use
na resposta). (Atenção: não houve sofrimento ao gato)
a) (1pts) Escreva as equações horárias (de posição e velocidade) para o gato e para o ciclista
b) (2pts) Encontre uma expressão para b1 em termos de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá (peguei alguns desses dados da imagem enviada).
-
O enunciado pede:
- (a) escrever as equações horárias (posição e velocidade) para o gato (movimento vertical) e para o ciclista (movimento horizontal);
- (b) encontrar uma expressão para
em termos de , e , sem usar na resposta.
-
Informações dadas (algumas retiradas da imagem):
- O ciclista parte do repouso em
no instante : - A aceleração horizontal do ciclista é
para , com . - O garoto está em
no instante e lança o gato verticalmente para cima a partir do solo (altura de lançamento ) com velocidade inicial vertical . - No instante
o ciclista apanha o gato exatamente na mesma altura do solo em que ele foi jogado (isto é, o gato volta a em e o ciclista está em nesse mesmo instante). - Ignorar resistência do ar; aceleração vertical do gato é a gravidade
(com ).
- O ciclista parte do repouso em
Passo 2
Equações do movimento vertical do gato — ideias e derivação passo a passo.
-
Conceito rápido: aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição. Integrando a aceleração obtemos a velocidade; integrando a velocidade obtemos a posição. Vou aplicar isso ao movimento vertical do gato.
-
A aceleração vertical do gato é constante e igual a
. Portanto, integrando para obter a velocidade vertical:
Integrando em
e usando a condição inicial
obtemos
- Agora integro
para obter a posição vertical . Com a condição inicial ,
Essas são as equações horárias do gato (velocidade e posição vertical).
Passo 3
Tempo de voo do gato até voltar ao solo — resolução detalhada.
- O enunciado diz que o gato volta à altura de lançamento em
, ou seja . Usando a expressão de :
- Essa é uma equação quadrática em
. Colocando em evidência obtemos
- As raízes são
(instante inicial) e a outra raiz não nula dada por
- Fisicamente escolhemos a raiz não nula, que é o tempo total de ida e volta do gato até retornar à altura de lançamento:
Passo 4
Equações do movimento horizontal do ciclista — integração da aceleração variável.
- A aceleração horizontal fornecida é
. Pela definição,
- Integro para obter a velocidade horizontal
. Como (partida do repouso),
- Agora integro
para obter a posição horizontal . Como ,
Essas são as equações horárias do ciclista (velocidade e posição horizontal).
Passo 5
Condição de encontro e expressão intermediária para
.
- O ciclista pega o gato em
exatamente em . Portanto impomos
- Isolando
em termos de e obtemos
Esta é a expressão intermediária; ainda falta eliminar
usando a relação do gato.
Passo 6
Eliminação de
usando o tempo de voo do gato e cálculo final de
.
- Substituo o valor de
que obtivemos para o gato, , na expressão anterior:
- Faço a álgebra do denominador:
- Portanto
Pronto: essa é a expressão de
em termos de
,
e
, sem
.
Resposta
(a) Gato — velocidade vertical e posição vertical:
Ciclista — velocidade horizontal e posição horizontal:
(b)