Questão 2: Um ciclista parte do repouso ( \mathrm{x}_{0}=0, \mathrm{t}_{0}=0 ) com aceleração a_{x}=2 b_{1} t, 0 \leq t \leq t_{l} e b_{l}>0. No mesmo instante ( \mathrm{t}=0 ) um garoto, situado na posição \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{t}=\boldsymbol{0})=\boldsymbol{d} da trajetória do ciclista, lança um gato verticalmente para cima como velocidade \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{y} \boldsymbol{o}}. No instante seguinte \left(t_{1}\right) o ciclista apanha o gato exatamente a mesma altura do solo na qual ele foi jogado. Ignore forças de resistência.
a) (1pts) Escreva as equações horárias (de posição e velocidade) para o gato e para o ciclista
b) (2pts) Encontre uma expressão para b1 em termos de \boldsymbol{d}, \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{y} \boldsymbol{o}} e \boldsymbol{g} (não use \boldsymbol{t}_{1} na resposta). (Atenção: não houve sofrimento ao gato)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá (peguei alguns desses dados da imagem enviada).
  • O enunciado pede:
    • (a) escrever as equações horárias (posição e velocidade) para o gato (movimento vertical) e para o ciclista (movimento horizontal);
    • (b) encontrar uma expressão para b_{1} em termos de d, v_{y0} e g, sem usar t_{1} na resposta.
  • Informações dadas (algumas retiradas da imagem):
    • O ciclista parte do repouso em x=0 no instante t=0: \,x(0)=0,\;v_x(0)=0.
    • A aceleração horizontal do ciclista é \,a_x(t)=2\,b_{1}\,t para 0\le t\le t_{1}, com b_{1}>0.
    • O garoto está em x=d no instante t=0 e lança o gato verticalmente para cima a partir do solo (altura de lançamento y(0)=0) com velocidade inicial vertical \,v_{y0}.
    • No instante t_{1} o ciclista apanha o gato exatamente na mesma altura do solo em que ele foi jogado (isto é, o gato volta a y=0 em t=t_{1} e o ciclista está em x=d nesse mesmo instante).
    • Ignorar resistência do ar; aceleração vertical do gato é a gravidade -g (com g>0).

Passo 2

Equações do movimento vertical do gato — ideias e derivação passo a passo.
  • Conceito rápido: aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição. Integrando a aceleração obtemos a velocidade; integrando a velocidade obtemos a posição. Vou aplicar isso ao movimento vertical do gato.
  • A aceleração vertical do gato é constante e igual a -g. Portanto, integrando para obter a velocidade vertical:
a_y(t)=-g=\frac{d v_y}{dt}.
Integrando em t e usando a condição inicial v_y(0)=v_{y0} obtemos
v_y(t)=v_{y0}-g\,t.
  • Agora integro v_y(t) para obter a posição vertical y(t). Com a condição inicial y(0)=0,
y(t)=\int_0^t (v_{y0}-g\,t')\,dt' = v_{y0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Essas são as equações horárias do gato (velocidade e posição vertical).

Passo 3

Tempo de voo do gato até voltar ao solo — resolução detalhada.
  • O enunciado diz que o gato volta à altura de lançamento em t=t_{1}, ou seja y(t_{1})=0. Usando a expressão de y(t):
y(t_{1})=v_{y0}\,t_{1}-\tfrac{1}{2}g\,t_{1}^{2}=0.
  • Essa é uma equação quadrática em t_{1}. Colocando em evidência t_{1} obtemos
t_{1}\left(v_{y0}-\tfrac{1}{2}g\,t_{1}\right)=0.
  • As raízes são t_{1}=0 (instante inicial) e a outra raiz não nula dada por
v_{y0}-\tfrac{1}{2}g\,t_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad t_{1}=\frac{2\,v_{y0}}{g}.
  • Fisicamente escolhemos a raiz não nula, que é o tempo total de ida e volta do gato até retornar à altura de lançamento:
t_{1}=\frac{2\,v_{y0}}{g}.

Passo 4

Equações do movimento horizontal do ciclista — integração da aceleração variável.
  • A aceleração horizontal fornecida é \,a_x(t)=2\,b_{1}\,t. Pela definição,
a_x(t)=\frac{d v_x}{dt}.
  • Integro para obter a velocidade horizontal v_x(t). Como v_x(0)=0 (partida do repouso),
v_x(t)=\int_0^t 2\,b_{1}\,t'\,dt' = b_{1}\,t^{2}.
  • Agora integro v_x(t) para obter a posição horizontal x(t). Como x(0)=0,
x(t)=\int_0^t b_{1}\,t'^{2}\,dt' = \tfrac{1}{3}\,b_{1}\,t^{3}.
Essas são as equações horárias do ciclista (velocidade e posição horizontal).

Passo 5

Condição de encontro e expressão intermediária para b_{1}.
  • O ciclista pega o gato em t=t_{1} exatamente em x=d. Portanto impomos
x(t_{1})=\tfrac{1}{3}\,b_{1}\,t_{1}^{3}=d.
  • Isolando b_{1} em termos de d e t_{1} obtemos
b_{1}=\frac{3\,d}{t_{1}^{3}}.
Esta é a expressão intermediária; ainda falta eliminar t_{1} usando a relação do gato.

Passo 6

Eliminação de t_{1} usando o tempo de voo do gato e cálculo final de b_{1}.
  • Substituo o valor de t_{1} que obtivemos para o gato, \displaystyle t_{1}=\frac{2\,v_{y0}}{g}, na expressão anterior:
b_{1}=\frac{3\,d}{\left(\dfrac{2\,v_{y0}}{g}\right)^{3}}.
  • Faço a álgebra do denominador:
\left(\dfrac{2\,v_{y0}}{g}\right)^{3}=\dfrac{8\,v_{y0}^{3}}{g^{3}}.
  • Portanto
b_{1}=\frac{3\,d}{\dfrac{8\,v_{y0}^{3}}{g^{3}}} = \frac{3\,d\,g^{3}}{8\,v_{y0}^{3}}.
Pronto: essa é a expressão de b_{1} em termos de d, v_{y0} e g, sem t_{1}.

Resposta

(a) Gato — velocidade vertical e posição vertical:
v_y(t)=v_{y0}-g\,t, \qquad y(t)=v_{y0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Ciclista — velocidade horizontal e posição horizontal:
v_x(t)=b_{1}\,t^{2}, \qquad x(t)=\tfrac{1}{3}\,b_{1}\,t^{3}.
(b)
b_{1}=\frac{3\,d\,g^{3}}{8\,v_{y0}^{3}}.

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