Questão 4 - (Catenária e Catenoide): Considere a superfície gerada pela revolução de uma linha conectando dois pontos fixos \left(x_{1}, y_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}\right) em torno de um eixo coplanar com os dois pontos. Encontre a equação da linha conectando os pontos tais que a superfície (área) gerada pela revolução, isto é, a área da superfície de revolução, é um mínimo.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação da linha (curva) que liga dois pontos fixos \left(x_{1},y_{1}\right) e \left(x_{2},y_{2}\right) tal que a superfície gerada pela revolução dessa linha em torno de um eixo coplanar com os pontos tenha área mínima. Informações dadas e hipóteses implícitas:
\text{Dados: }(x_1,y_1),\\ (x_2,y_2)\quad\text{(pontos fixos no plano).}
\text{Queremos: curva }y(x)\text{ passando por esses pontos que minimiza a área de revolução.}áçã
\text{A área da superfície de revolução em torno do eixo }x\text{-} \text{(ou eixo paralelo) é}áíçãé
S=2\pi\int_{x_1}^{x_2} y(x)\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.
Observação: assumi sem perda de generalidade que o eixo de revolução é horizontal (e.g. o eixo x) e que y(x)>0 entre os pontos; se o eixo for outro mas coplanar, faz-se uma mudança de coordenadas equivalente. A resolução começa agora.

Passo 2

Montando o funcional da área e explicando a ideia que vamos usar.
A área da superfície de revolução gerada por uma curva y(x) entre x_1 e x_2 ao redor do eixo x é
S[y]=2\pi\int_{x_1}^{x_2} L\bigl(y,y'\bigr)\,dx,
onde tomamos a densidade
L\bigl(y,y'\bigr)=y\sqrt{1+(y')^2}.
Explicação didática: y é o raio do anel gerado pela rotação em cada fatia dx, e \sqrt{1+(y')^2}\,dx é o comprimento do elemento de arco da curva (hipotenusa do triângulo infinitesimal). O fator 2\pi vem da circunferência do anel. Para minimizar S variamos a função y(x) com fronteiras fixas y(x_1)=y_1 e y(x_2)=y_2 e aplicamos as ferramentas de cálculo das variações.

Passo 3

Aplicando Euler–Lagrange e usando uma simplificação importante.
O Euler–Lagrange diz que uma função y(x) que extremiza o funcional satisfaz
\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}-\frac{\partial L}{\partial y}=0.
Mas aqui L não depende explicitamente de x (apenas de y e y'). Quando L é independente de x existe a identidade de Beltrami (ou primeira integral):
L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = \text{conste} \; (=C).
Isso reduz a equação de segunda ordem para uma equação de primeira ordem, o que simplifica muito. Vou aplicar essa identidade ao nosso L.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias e obter a primeira integral.
Primeiro calculemos \partial L/\partial y':
\frac{\partial L}{\partial y'}=y\cdot\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}}.
Agora a combinação da identidade de Beltrami:
L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = y\sqrt{1+(y')^2} - y'\cdot y\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}}.
Fazendo as contas (põe tudo sobre o mesmo denominador \sqrt{1+(y')^2}):
y\sqrt{1+(y')^2} - y\frac{(y')^2}{\sqrt{1+(y')^2}} = \frac{y\bigl(1+(y')^2-(y')^2\bigr)}{\sqrt{1+(y')^2}} = \frac{y}{\sqrt{1+(y')^2}}.
Logo a identidade dá
\frac{y}{\sqrt{1+(y')^2}}=C,
onde C é uma constante (positiva se y>0). Esta é a equação diferencial de primeira ordem que governará a curva minimizante.

Passo 5

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
Da igualdade anterior temos
\frac{y}{\sqrt{1+(y')^2}}=C \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1+(y')^2}=\frac{y}{C}.
Elevando ao quadrado:
1+(y')^2=\frac{y^2}{C^2}\quad\Longrightarrow\quad (y')^2=\frac{y^2}{C^2}-1.
Tomando raiz (escolhemos sinal conforme a orientação do eixo):
\frac{dy}{dx}= \pm\sqrt{\frac{y^2}{C^2}-1}.
Separando variáveis (faça com calma na prova):
\frac{dx}{dy}=\pm\frac{1}{\sqrt{\dfrac{y^2}{C^2}-1}}=\pm\frac{C}{\sqrt{y^2-C^2}}.
Agora integramos em y.

Passo 6

Integral e uso de funções hiperbólicas.
Integramos:
x + A = \pm C\int\frac{dy}{\sqrt{y^2-C^2}},
onde A é constante de integração. A integral padrão é conhecida:
\int\frac{dy}{\sqrt{y^2-C^2}}=\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{y}{C}\right)
para y\ge C>0. Assim obtemos
x + A = \pm C\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{y}{C}\right).
Reorganizando e invertendo a \operatorname{arcosh} (lembrando que \operatorname{cosh} é a inversa da \operatorname{arcosh} no ramo apropriado) resulta na forma clássica:
y(x)=C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x-B}{C}\Bigr),
onde renomeamos as constantes B=-A e tomamos o sinal conveniente na integração. Esta curva é a catenária. Explicação rápida da função: \operatorname{cosh}(u)=\tfrac{e^u+e^{-u}}{2} e satisfaz \operatorname{cosh}' = \operatorname{sinh}, e ela aparece naturalmente ao integrar a integral hiperbólica acima.

Passo 7

Interpretação das constantes e como determinar pelos pontos finais.
A solução geral é
y(x)=C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x-B}{C}\Bigr),
com constantes C>0 e B\in\mathbb{R}. Para ajustar a curva aos pontos dados impomos as condições de contorno:
y_1 = C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x_1-B}{C}\Bigr),\qquad y_2 = C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x_2-B}{C}\Bigr).
Essas duas equações determinam C e B. Em geral obtém-se um sistema transcendental, que na prática se resolve numericamente (por exemplo, usando Newton). Uma forma útil para reduzir a equação a uma só incógnita é subtrair as duas equações em termos de arcosh:
\frac{x_2-x_1}{C}=\operatorname{arcosh}\!\Bigl(\frac{y_2}{C}\Bigr)-\operatorname{arcosh}\!\Bigl(\frac{y_1}{C}\Bigr),
que é uma equação para C; depois se obtém B por
B=x_1 - C\operatorname{arcosh}\!\Bigl(\frac{y_1}{C}\Bigr).
Observação prática: se y_1=y_2 então B=(x_1+x_2)/2 por simetria e C pode ser determinado de uma equação simples.

Passo 8

Comentário final sobre minimalidade e intuição física.
A curva encontrada (catenária) é a que torna estacionária o funcional de área; com hipóteses usuais (curvas com y>0 e continuidade suficiente) essa solução corresponde ao mínimo de área local — isso também concorda com a intuição física: ao rotacionar a catenária obtemos um catenoide, que é a superfície mínima de revolução entre contornos circulares dados (é a análoga 3D da parábola que minimiza comprimento sob certas restrições). Provas mais formais usam a segunda variação ou propriedades das superfícies mínimas, mas para a sua prova basta mostrar a derivação e as condições de contorno.

Resposta

y(x)=C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x-B}{C}\Bigr),
com C>0 e B\in\mathbb{R} determinados pelas condições de contorno
y_1 = C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x_1-B}{C}\Bigr),\qquad y_2 = C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x_2-B}{C}\Bigr).

Exercícios relacionados