Questão 4 - (Catenária e Catenoide): Considere a superfície gerada pela revolução de uma linha conectando dois pontos fixos
e
em torno de um eixo coplanar com os dois pontos. Encontre a equação da linha conectando os pontos tais que a superfície (área) gerada pela revolução, isto é, a área da superfície de revolução, é um mínimo.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação da linha (curva) que liga dois pontos fixos
e
tal que a superfície gerada pela revolução dessa linha em torno de um eixo coplanar com os pontos tenha área mínima. Informações dadas e hipóteses implícitas:
Observação: assumi sem perda de generalidade que o eixo de revolução é horizontal (e.g. o eixo
) e que
entre os pontos; se o eixo for outro mas coplanar, faz-se uma mudança de coordenadas equivalente. A resolução começa agora.
Passo 2
Montando o funcional da área e explicando a ideia que vamos usar.
A área da superfície de revolução gerada por uma curva entre
e
ao redor do eixo
é
A área da superfície de revolução gerada por uma curva
onde tomamos a densidade
Explicação didática:
é o raio do anel gerado pela rotação em cada fatia
, e
é o comprimento do elemento de arco da curva (hipotenusa do triângulo infinitesimal). O fator
vem da circunferência do anel. Para minimizar
variamos a função
com fronteiras fixas
e
e aplicamos as ferramentas de cálculo das variações.
Passo 3
Aplicando Euler–Lagrange e usando uma simplificação importante.
O Euler–Lagrange diz que uma função que extremiza o funcional satisfaz
O Euler–Lagrange diz que uma função
Mas aqui
não depende explicitamente de
(apenas de
e
). Quando
é independente de
existe a identidade de Beltrami (ou primeira integral):
Isso reduz a equação de segunda ordem para uma equação de primeira ordem, o que simplifica muito. Vou aplicar essa identidade ao nosso
.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias e obter a primeira integral.
Primeiro calculemos :
Primeiro calculemos
Agora a combinação da identidade de Beltrami:
Fazendo as contas (põe tudo sobre o mesmo denominador
):
Logo a identidade dá
onde
é uma constante (positiva se
). Esta é a equação diferencial de primeira ordem que governará a curva minimizante.
Passo 5
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
Da igualdade anterior temos
Da igualdade anterior temos
Elevando ao quadrado:
Tomando raiz (escolhemos sinal conforme a orientação do eixo):
Separando variáveis (faça com calma na prova):
Agora integramos em
.
Passo 6
Integral e uso de funções hiperbólicas.
Integramos:
Integramos:
onde
é constante de integração. A integral padrão é conhecida:
para
. Assim obtemos
Reorganizando e invertendo a
(lembrando que
é a inversa da
no ramo apropriado) resulta na forma clássica:
onde renomeamos as constantes
e tomamos o sinal conveniente na integração. Esta curva é a catenária. Explicação rápida da função:
e satisfaz
, e ela aparece naturalmente ao integrar a integral hiperbólica acima.
Passo 7
Interpretação das constantes e como determinar pelos pontos finais.
A solução geral é
A solução geral é
com constantes
e
. Para ajustar a curva aos pontos dados impomos as condições de contorno:
Essas duas equações determinam
e
. Em geral obtém-se um sistema transcendental, que na prática se resolve numericamente (por exemplo, usando Newton). Uma forma útil para reduzir a equação a uma só incógnita é subtrair as duas equações em termos de arcosh:
que é uma equação para
; depois se obtém
por
Observação prática: se
então
por simetria e
pode ser determinado de uma equação simples.
Passo 8
Comentário final sobre minimalidade e intuição física.
A curva encontrada (catenária) é a que torna estacionária o funcional de área; com hipóteses usuais (curvas com e continuidade suficiente) essa solução corresponde ao mínimo de área local — isso também concorda com a intuição física: ao rotacionar a catenária obtemos um catenoide, que é a superfície mínima de revolução entre contornos circulares dados (é a análoga 3D da parábola que minimiza comprimento sob certas restrições). Provas mais formais usam a segunda variação ou propriedades das superfícies mínimas, mas para a sua prova basta mostrar a derivação e as condições de contorno.
A curva encontrada (catenária) é a que torna estacionária o funcional de área; com hipóteses usuais (curvas com
Resposta
com
e
determinados pelas condições de contorno