Questão 1. Em certa população, a altura X(\mathrm{em} \mathrm{cm}) de homens adultos pode ser modelada por
X \sim N(\mu=175, \sigma=7)
Qual a probabilidade de um homem ter mais de 185 cm ?

Passo 1

O enunciado nos dá que a altura X (em cm) de homens adultos segue uma distribuição normal com média e desvio-padrão:
X \sim N(\mu=175,\\ \sigma=7).
O que o problema pede: calcular a probabilidade de um homem ter mais de 185 cm, isto é, encontrar
P(X>185).

Passo 2

Entendendo a ideia (sem jargon): a distribuição normal é uma “curvinha” simétrica em torno da média \mu. Para calcular probabilidades do tipo P(X>a) usamos uma distribuição normal padrão, que é a mesma curvinha mas com média zero e desvio-padrão um. Para passar de X para essa curva padrão usamos a transformação (chamada padronização):
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição normal padrão \,Z\sim N(0,1). Aqui:
  • \mu é a média ( 175 cm),
  • \sigma é o desvio-padrão ( 7 cm),
  • Z é a variável padronizada que mede “quantos desvios-padrão” uma observação está da média.

Passo 3

Aplicando a padronização ao nosso caso:
z=\frac{185-175}{7}=\frac{10}{7}\approx1,428571\ldots
Portanto
P(X>185)=P\!\left(Z>\frac{185-175}{7}\right)=P(Z>1,428571\ldots).

Passo 4

Como obter P(Z>1,4286): as tabelas (ou calculadora) fornecem a função de distribuição acumulada da normal padrão
\Phi(z)=P(Z\le z). Então
P(Z>1,4286)=1-\Phi(1,4286).
Usando valores de tabela: \Phi(1,42)=0,9222 e \Phi(1,43)=0,9236. Fazendo uma interpolação linear rápida entre esses pontos para z\approx1,4286 (que está mais perto de 1,43):
\Phi(1,4286)\approx0,9234.

Passo 5

Agora calculamos a probabilidade desejada:
P(X>185)=1-\Phi(1,4286)\approx1-0,9234=0,0766.
Interpretação amigável: cerca de 7{,}66\% dos homens medem mais de 185 cm — ou seja, é relativamente raro, mas não impossível.

Resposta

P(X>185)=0,0766\\ (\approx7,66\%)

Exercícios relacionados