Questão 1. Em certa população, a altura X(\mathrm{em} \mathrm{cm}) de homens adultos pode ser modelada por
X \sim N(\mu=175, \sigma=7)
A partir de qual altura um homem está no grupo dos 5 \% mais altos?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listei as informações relevantes):
  • A variável altura X segue uma distribuição normal com média e desvio-padrão dados: \;X \sim N(\mu=175,\\ \sigma=7).
  • Pergunta: “A partir de qual altura um homem está no grupo dos 5\% mais altos?” — ou seja, encontrar o valor h tal que a probabilidade de um homem ter altura maior que h seja 5\%: \;P(X>h)=0,05.

Passo 2

Transformação para a normal padrão — por que fazemos isso e como:
  • A normal padrão é uma normal com média 0 e desvio-padrão 1. Denotamos por Z a variável normal padrão.
  • Para qualquer normal X\sim N(\mu,\sigma) fazemos a padronização
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição Z\sim N(0,1).
  • Aqui usaremos essa padronização porque tabelas e funções inversas estão normalmente disponíveis para Z. Se queremos \;P(X>h)=0,05, passando para Z obtemos
P\!\left(Z>\frac{h-\mu}{\sigma}\right)=0,05.
  • Defina z_0=\dfrac{h-\mu}{\sigma}. Então queremos P(Z>z_0)=0,05, ou equivalentemente P(Z\le z_0)=0,95.

Passo 3

Encontrar o quantil da normal padrão correspondente a 0,95:
  • A notação para o quantil é \;z_{0,95}=\Phi^{-1}(0,95), onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.
  • O valor conhecido (tabela ou calculadora) é aproximadamente
z_{0,95}\approx 1,645.
  • Observação didática: 1,645 é o número tal que 95\% da massa da normal padrão fica à esquerda dele. Não confundir com 1,96 (que é o quantil bilateral para 95\% central).

Passo 4

Voltar para h e calcular numericamente:
  • Lembrando que z_0=(h-\mu)/\sigma, isolamos h:
h=\mu+z_0\,\sigma.
  • Substituindo \mu=175, \sigma=7 e z_0\approx1,645:
h = 175 + 1,645\cdot 7.
  • Calcule passo a passo: 1,645\cdot 7 = 11,515. Assim
h = 175 + 11,515 = 186,515.
  • Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
h \approx 186,52\\ \text{cm}.

Passo 5

Interpretação final e dica prática:
  • Isso significa que homens com altura a partir de \;186,52\\ \text{cm} (ou seja, \;X\ge 186,52\\ \text{cm}) pertencem ao grupo dos 5\% mais altos segundo o modelo normal dado.
  • Em prova: calcule o quantil z correspondente a 1-0,05=0,95 (tabela ou \Phi^{-1}), multiplique por \sigma e some \mu. Fácil de memorizar a fórmula final h=\mu+\Phi^{-1}(0,95)\sigma.

Resposta

\;186,52\\ \text{cm}

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