Questão 1. Em certa população, a altura
de homens adultos pode ser modelada por
A partir de qual altura um homem está no grupo dos
mais altos?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (listei as informações relevantes):
- A variável altura
segue uma distribuição normal com média e desvio-padrão dados: . - Pergunta: “A partir de qual altura um homem está no grupo dos
mais altos?” — ou seja, encontrar o valor tal que a probabilidade de um homem ter altura maior que seja : .
Passo 2
Transformação para a normal padrão — por que fazemos isso e como:
- A normal padrão é uma normal com média
e desvio-padrão . Denotamos por a variável normal padrão. - Para qualquer normal
fazemos a padronização
que tem distribuição
.
- Aqui usaremos essa padronização porque tabelas e funções inversas estão normalmente disponíveis para
. Se queremos , passando para obtemos
- Defina
. Então queremos , ou equivalentemente .
Passo 3
Encontrar o quantil da normal padrão correspondente a
:
- A notação para o quantil é
, onde é a função de distribuição da normal padrão. - O valor conhecido (tabela ou calculadora) é aproximadamente
- Observação didática:
é o número tal que da massa da normal padrão fica à esquerda dele. Não confundir com (que é o quantil bilateral para central).
Passo 4
Voltar para
e calcular numericamente:
- Lembrando que
, isolamos :
- Substituindo
, e :
- Calcule passo a passo:
. Assim
- Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
Passo 5
Interpretação final e dica prática:
- Isso significa que homens com altura a partir de
(ou seja, ) pertencem ao grupo dos mais altos segundo o modelo normal dado. - Em prova: calcule o quantil
correspondente a (tabela ou ), multiplique por e some . Fácil de memorizar a fórmula final .