Questão 1
Um certo átomo de hidrogênio tem seu elétron num estado com \ell=5.
d) Expresse, analogamente ao item (a), a componente z do momento angular, L_{z}, em termos de \hbar.

Passo 1

Dados do enunciado:
  • O elétron está num estado com \ell=5.
    O que o item (d) pede:
  • Explicar/expressar a componente z do momento angular, L_{z}, em termos de \hbar, analogamente ao item (a).

Passo 2

Entendendo as quantizações necessárias (passo-a-passo básico).
  • Em problemas de momento angular orbital usa-se dois números quânticos relevantes: \ell (o número quântico orbital) e m (o número quântico magnético, às vezes escrito m_\ell).
  • O número \ell é um inteiro não negativo ( \ell=0,1,2,\dots) e determina o valor do momento angular total L^2.
  • O número m é um inteiro que indica a componente do momento angular na direção z; ele satisfaz
m\in\{-\ell,-\ell+1,\dots,\ell-1,\ell\}.
Ou seja, para cada \ell existem exatamente 2\ell+1 valores possíveis de m.

Passo 3

Fórmula eigenvalor para L_z (a parte-chave).
  • O operador L_z age sobre os autovetores |\ell,m\rangle segundo a equação de autovalor
L_z\,|\ell,m\rangle = m\hbar\,|\ell,m\rangle.
  • Interpretando: numa medição da componente z do momento angular obtemos sempre um dos valores m\hbar. Aqui \hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Aplicando ao caso \ell=5.
  • Com \ell=5 os valores permitidos de m são
m=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,
pois variam de -\ell até \ell em passos inteiros.
  • O número de valores é 2\ell+1=2\cdot5+1=11.

Passo 5

Escrevendo explicitamente L_z em termos de \hbar para \ell=5.
  • Usando a relação da Passo 3, os possíveis autovalores de L_z são
L_z = m\hbar,
com m tomando os valores listados no Passo 4. Explicitamente:
L_z \in \{-5\hbar,\,-4\hbar,\,-3\hbar,\,-2\hbar,\,-1\hbar,\;0,\;1\hbar,\;2\hbar,\;3\hbar,\;4\hbar,\;5\hbar\}.

Resposta

L_z = m\hbar,\quad m=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5

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