Questão 1
Um certo átomo de hidrogênio tem seu elétron num estado com \ell=5.
f) Qual o valor do ângulo (semiclássico) \theta entre a componente L_{z} e o vetor \mathbf{L} ?

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte informação:
  • O número quântico azimutal é \ell=5.
  • A pergunta: qual o valor do ângulo (semiclássico) \theta entre a componente L_{z} e o vetor \mathbf{L}?
Observação importante que vem do enunciado: não foi especificado o valor do número quântico magnético m. Como m determina a projeção L_{z}, a resposta depende de m. Portanto vou:
  • listar os valores possíveis de m para \ell=5;
  • obter uma expressão geral para \theta em função de m;
  • calcular os valores numéricos de \theta para todos os m permitidos.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que precisamos (explicação didática):
  • Na quantização do momento angular orbital, o módulo de \mathbf{L} e a componente L_z têm valores fixos (valores próprios):
    • O quadrado do módulo vale \;L^2=\ell(\ell+1)\hbar^2\;. Aqui \ell é o número quântico azimutal e \hbar é a constante de Planck reduzida.
    • A componente z vale \;L_z=m\hbar\;, onde m (número quântico magnético) assume os valores inteiros m\in\{-\ell,-\ell+1,\dots,0,\dots,\ell-1,\ell\}.
  • O ângulo semiclassico \theta entre o vetor \mathbf{L} (direção do momento angular total) e o eixo z é dado pela definição geométrica do cosseno: \cos\theta=\frac{L_{z}}{|\mathbf{L}|}.Substituindo os valores quânticos: \cos\theta=\frac{m\hbar}{\sqrt{\ell(\ell+1)}\,\hbar}=\frac{m}{\sqrt{\ell(\ell+1)}}.
  • Interpretação: \theta está quantizado porque m é discreto; isso gera os famosos “ângulos de cone” — o vetor \mathbf{L} só pode formar certos ângulos com o eixo z.

Passo 3

Aplicando \ell=5 na fórmula:
\cos\theta=\frac{m}{\sqrt{\ell(\ell+1)}}=\frac{m}{\sqrt{5\cdot 6}}=\frac{m}{\sqrt{30}}.
Portanto a expressão geral para \theta é
\theta(m)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{m}{\sqrt{30}}\right).
Aqui m toma os valores inteiros -5,-4,\dots,4,5.

Passo 4

Vamos calcular numericamente \theta(m) (vou dar os ângulos em graus, arredondados a duas casas decimais). Primeiro calculei \sqrt{30}\approx 5,477225575. Para cada m positivo faço
\theta(m)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{m}{\sqrt{30}}\right),
e para m<0 o valor é simetricamente maior que 90^\circ.
Cálculos (mostrar um exemplo de conta e depois os resultados):
  • Exemplo (detalhado para m=5): \cos\theta=\frac{5}{\sqrt{30}}=\sqrt{\frac{25}{30}}=\sqrt{\frac{5}{6}}\approx 0,912870929,então \theta=\operatorname{arccos}(0,912870929)\approx 24,10^\circ.
Agora os resultados para todos os m:
Para m=5: \theta\approx 24,10^\circ
Para m=4: \theta\approx 43,09^\circ
Para m=3: \theta\approx 56,80^\circ
Para m=2: \theta\approx 68,60^\circ
Para m=1: \theta\approx 79,48^\circ
Para m=0: \theta=90,00^\circ

Passo 5

Valores para m<0. Como \cos\theta muda de sinal, os ângulos ficam no semiplano superior >90^\circ. Pela simetria:
\theta(-m)=180^\circ-\theta(m).
Logo:
Para m=-1: \theta\approx 100,52^\circ
Para m=-2: \theta\approx 111,40^\circ
Para m=-3: \theta\approx 123,20^\circ
Para m=-4: \theta\approx 136,91^\circ
Para m=-5: \theta\approx 155,90^\circ

Passo 6

Interpretação física rápida e motivacional:
  • Cada valor de m seleciona uma projeção L_z=m\hbar; semiclassicamente isso significa que o vetor \mathbf{L} está preso a um cone com semiângulo \theta(m) em torno do eixo z.
  • Para \ell=5 2\ell+1=11 possíveis orientações diferentes do vetor \mathbf{L}.
  • Esses ângulos são o que você provavelmente precisa lembrar/usar na prova: a fórmula-chave é \cos\theta = m/\sqrt{\ell(\ell+1)}. Vai tranquilo — decore a fórmula e pratique com alguns \ell pequenos para ganhar confiança!

Resposta

m=5:\\ \theta\approx 24,10^\circ
m=4:\\ \theta\approx 43,09^\circ
m=3:\\ \theta\approx 56,80^\circ
m=2:\\ \theta\approx 68,60^\circ
m=1:\\ \theta\approx 79,48^\circ
m=0:\\ \theta=90,00^\circ
m=-1:\\ \theta\approx 100,52^\circ
m=-2:\\ \theta\approx 111,40^\circ
m=-3:\\ \theta\approx 123,20^\circ
m=-4:\\ \theta\approx 136,91^\circ
m=-5:\\ \theta\approx 155,90^\circ

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