Questão 1
Um certo átomo de hidrogênio tem seu elétron num estado com
.
f) Qual o valor do ângulo (semiclássico)
entre a componente
e o vetor
?
Um certo átomo de hidrogênio tem seu elétron num estado com
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte informação:
- O número quântico azimutal é
. - A pergunta: qual o valor do ângulo (semiclássico)
entre a componente e o vetor ?
Observação importante que vem do enunciado: não foi especificado o valor do número quântico magnético
. Como
determina a projeção
, a resposta depende de
. Portanto vou:
- listar os valores possíveis de
para ; - obter uma expressão geral para
em função de ; - calcular os valores numéricos de
para todos os permitidos.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que precisamos (explicação didática):
- Na quantização do momento angular orbital, o módulo de
e a componente têm valores fixos (valores próprios): - O quadrado do módulo vale
. Aqui é o número quântico azimutal e é a constante de Planck reduzida. - A componente
vale , onde (número quântico magnético) assume os valores inteiros
- O quadrado do módulo vale
- O ângulo semiclassico
entre o vetor (direção do momento angular total) e o eixo é dado pela definição geométrica do cosseno: Substituindo os valores quânticos: - Interpretação:
está quantizado porque é discreto; isso gera os famosos “ângulos de cone” — o vetor só pode formar certos ângulos com o eixo .
Passo 3
Aplicando
na fórmula:
Portanto a expressão geral para
é
Aqui
toma os valores inteiros
.
Passo 4
Vamos calcular numericamente
(vou dar os ângulos em graus, arredondados a duas casas decimais). Primeiro calculei
. Para cada
positivo faço
e para
o valor é simetricamente maior que
.
Cálculos (mostrar um exemplo de conta e depois os resultados):
- Exemplo (detalhado para
): então
Agora os resultados para todos os
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Valores para
. Como
muda de sinal, os ângulos ficam no semiplano superior
. Pela simetria:
Logo:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Interpretação física rápida e motivacional:
- Cada valor de
seleciona uma projeção ; semiclassicamente isso significa que o vetor está preso a um cone com semiângulo em torno do eixo . - Para
há possíveis orientações diferentes do vetor . - Esses ângulos são o que você provavelmente precisa lembrar/usar na prova: a fórmula-chave é
. Vai tranquilo — decore a fórmula e pratique com alguns pequenos para ganhar confiança!