Questão 1
Um certo átomo de hidrogênio tem seu elétron num estado com
.
a) Determine o módulo do vetor momento angular
em termos de
.
Um certo átomo de hidrogênio tem seu elétron num estado com
Passo 1
O enunciado dá que o elétron está num estado com
. A pergunta pede: determinar o módulo do vetor momento angular
em termos de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Valor do número quântico orbital:
. - Pedido: o módulo (o tamanho) do vetor
, expresso usando .
Passo 2
O que significa falar do “módulo do vetor momento angular” na mecânica quântica?
Em mecânica quântica trabalha-se com operadores para as componentes do momento angular: ,
e
. O operador associado ao quadrado do momento angular total é
Em mecânica quântica trabalha-se com operadores para as componentes do momento angular:
Quando se mede o quadrado do momento angular total em um estado próprio, o resultado é um número (autovalor). O módulo (ou magnitude) do vetor
que será observado corresponde à raiz quadrada desse autovalor. Vou explicar com calma como isso funciona nos próximos passos.
Passo 3
Há fórmulas padrão (resultados de teoria de operadores angulares) que dão os autovalores do operador
e de
. São:
Explicando cada símbolo:
-
é um autovetor comum rotulado pelos números quânticos e . -
é o número quântico orbital (aqui dado como ); seu domínio é . -
é o número quântico magnético, que pode assumir os valores . -
é a constante de Planck reduzida.
A primeira equação diz que uma medida deem um estado sempre retorna o valor .
Passo 4
Como a medida do quadrado do momento angular total dá
, o módulo (o comprimento) do vetor momento angular
que se obtém experimentalmente é a raiz quadrada desse valor. Em linguagem matemática:
Aqui
denota o resultado (autovalor) obtido ao medir
. Observação importante: esse módulo não depende do valor de
;
afeta apenas a componente
(que vale
).
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula ao caso dado
. Calculamos primeiro
:
Portanto o módulo do momento angular é
Passo 6
Pequena intuição/cheat-sheet para a prova:
- Para qualquer
, use . - Exemplos rápidos: se
então ; se então . - Lembre-se:
controla apenas a componente , não o módulo total.