Questão 1
Um certo átomo de hidrogênio tem seu elétron num estado com \ell=5.
a) Determine o módulo do vetor momento angular \mathbf{L} em termos de \hbar.

Passo 1

O enunciado dá que o elétron está num estado com \ell=5. A pergunta pede: determinar o módulo do vetor momento angular \mathbf{L} em termos de \hbar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Valor do número quântico orbital: \ell=5.
  • Pedido: o módulo (o tamanho) do vetor \mathbf{L}, expresso usando \hbar.

Passo 2

O que significa falar do “módulo do vetor momento angular” na mecânica quântica?
Em mecânica quântica trabalha-se com operadores para as componentes do momento angular: \hat{L}_x, \hat{L}_y e \hat{L}_z. O operador associado ao quadrado do momento angular total é
\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2.
Quando se mede o quadrado do momento angular total em um estado próprio, o resultado é um número (autovalor). O módulo (ou magnitude) do vetor \mathbf{L} que será observado corresponde à raiz quadrada desse autovalor. Vou explicar com calma como isso funciona nos próximos passos.

Passo 3

Há fórmulas padrão (resultados de teoria de operadores angulares) que dão os autovalores do operador \hat{L}^2 e de \hat{L}_z. São:
\hat{L}^2\lvert \ell,m\rangle = \hbar^2\,\ell(\ell+1)\,\lvert \ell,m\rangle,
\hat{L}_z\lvert \ell,m\rangle = \hbar\,m\,\lvert \ell,m\rangle.
Explicando cada símbolo:
  • \lvert \ell,m\rangle é um autovetor comum rotulado pelos números quânticos \ell e m.
  • \ell é o número quântico orbital (aqui dado como \ell=5); seu domínio é \ell=0,1,2,\dots.
  • m é o número quântico magnético, que pode assumir os valores m=-\ell,-\ell+1,\dots,\ell.
  • \hbar é a constante de Planck reduzida.
    A primeira equação diz que uma medida de \hat{L}^2 em um estado \lvert \ell,m\rangle sempre retorna o valor \hbar^2\ell(\ell+1).

Passo 4

Como a medida do quadrado do momento angular total dá \hbar^2\ell(\ell+1), o módulo (o comprimento) do vetor momento angular \mathbf{L} que se obtém experimentalmente é a raiz quadrada desse valor. Em linguagem matemática:
\text{módulo }L=\sqrt{\langle \hat{L}^2\rangle}=\sqrt{\hbar^2\,\ell(\ell+1)}=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)}.ó
Aqui \langle \hat{L}^2\rangle denota o resultado (autovalor) obtido ao medir \hat{L}^2. Observação importante: esse módulo não depende do valor de m; m afeta apenas a componente L_z (que vale \hbar m).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula ao caso dado \ell=5. Calculamos primeiro \ell(\ell+1):
\ell(\ell+1)=5\cdot(5+1)=5\cdot6=30.
Portanto o módulo do momento angular é
L=\hbar\sqrt{30}.

Passo 6

Pequena intuição/cheat-sheet para a prova:
  • Para qualquer \ell, use L=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)}.
  • Exemplos rápidos: se \ell=0 então L=\hbar\sqrt{0}=0; se \ell=1 então L=\hbar\sqrt{2}.
  • Lembre-se: m controla apenas a componente L_z=\hbar m, não o módulo total.

Resposta

\hbar\sqrt{30}

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