Questão 4 (CESGRANRIO/BNDES - 2024 - Analista). Um projeto, com vida útil de dois anos, prevê um investimento inicial de \mathrm{R} \ 20 milhões no ano zero e tem prognósticos simplificados de lucro (fluxos de caixa do projeto) deõó\mathrm{R} $10 milhões no ano 1 e deõ\mathrm{R} $ 20 milhões no ano 2 . A aproximação menos distante da Taxa Interna de Retorno (TIR) anual desse projeto é de?õçãé(28,08 %)$

Passo 1

O enunciado dá os fluxos de caixa do projeto e pede a Taxa Interna de Retorno (TIR) anual aproximada. Informações fornecidas:
  • Investimento inicial (ano 0): - \mathrm{R}\$\,20 milhões (fluxo no ano 0).
  • Fluxo no ano 1: + \mathrm{R}\$\,10 milhões.
  • Fluxo no ano 2: + \mathrm{R}\$\,20 milhões.
O que se pede: encontrar a taxa anual r tal que o valor presente líquido (VPL) do projeto seja zero (essa taxa é a TIR).

Passo 2

Definição prática da TIR e equação a resolver:
A TIR é a taxa r que faz o valor presente dos fluxos igualar o investimento inicial, isto é, resolve-se a equação
-20 + \frac{10}{1+r} + \frac{20}{(1+r)^2} = 0,
onde os valores estão em milhões de reais (pode-se trabalhar sem a unidade porque todas as entradas usam a mesma escala). Aqui:
  • -20 é o fluxo no ano 0,
  • \dfrac{10}{1+r} é o valor presente do fluxo do ano 1,
  • \dfrac{20}{(1+r)^2} é o valor presente do fluxo do ano 2,
  • r é a taxa anual procurada.

Passo 3

Transformar a equação numa equação polinomial para facilitar a solução:
Multiplicando ambos os lados por (1+r)^2 para eliminar denominadores:
-20(1+r)^2 + 10(1+r) + 20 = 0.
Expandindo (1+r)^2 e simplificando:
-20(1 + 2r + r^2) + 10 + 10r + 20 = 0.
-20 -40r -20r^2 + 10 + 10r + 20 = 0.
Somando termos semelhantes:
-20r^2 -30r +10 = 0.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficientes positivos:
20r^2 + 30r -10 = 0.
Para simplificar, divide-se tudo por 10:
2r^2 + 3r -1 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
2r^2 + 3r -1 = 0,
os coeficientes são a=2, b=3, c=-1. A solução é
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4\cdot 2 \cdot (-1)}}{4}.
Calcular o discriminante:
9 - 4\cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17.
Portanto
r = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}.
Temos duas raízes, mas a TIR anual razoável aqui é a que é maior que -1 (e tipicamente positiva). Tomando o sinal +:
r = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} = \frac{\sqrt{17}-3}{4}.
(Observação útil para prova: reorganizar e usar substituição x=1+r também leva ao mesmo resultado; aqui mostramos a forma direta em r.)

Passo 5

Aproximação numérica e verificação rápida:
Aproximando \sqrt{17}\approx 4,1231, obtemos
r \approx \frac{4,1231 - 3}{4} = \frac{1,1231}{4} \approx 0,2808.
Em porcentagem, isso é \approx 28,08\%.
Verificação rápida (checar que o VPL fica próximo de zero): com r\approx 0,2808,
\frac{10}{1+r}\approx \frac{10}{1,2808}\approx 7,804,\qquad \frac{20}{(1+r)^2}\approx \frac{20}{1,640}\approx 12,196,
e 7,804+12,196 \approx 20{,}000, ou seja, iguala o investimento inicial de 20 (em milhões), mostrando consistência.

Resposta

\;28{,}08\%

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