Questão 4 (CESGRANRIO/BNDES - 2024 - Analista). Um projeto, com vida útil de dois anos, prevê um investimento inicial de
20
\mathrm{R} $10
\mathrm{R} $ 20
(28,08 %)$
Passo 1
O enunciado dá os fluxos de caixa do projeto e pede a Taxa Interna de Retorno (TIR) anual aproximada. Informações fornecidas:
- Investimento inicial (ano 0):
milhões (fluxo no ano 0). - Fluxo no ano 1:
milhões. - Fluxo no ano 2:
milhões.
O que se pede: encontrar a taxa anual
tal que o valor presente líquido (VPL) do projeto seja zero (essa taxa é a TIR).
Passo 2
Definição prática da TIR e equação a resolver:
A TIR é a taxa que faz o valor presente dos fluxos igualar o investimento inicial, isto é, resolve-se a equação
A TIR é a taxa
onde os valores estão em milhões de reais (pode-se trabalhar sem a unidade porque todas as entradas usam a mesma escala). Aqui:
-
é o fluxo no ano 0, -
é o valor presente do fluxo do ano 1, -
é o valor presente do fluxo do ano 2, -
é a taxa anual procurada.
Passo 3
Transformar a equação numa equação polinomial para facilitar a solução:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar denominadores:
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo
e simplificando:
Somando termos semelhantes:
Multiplicando por
para ficar com coeficientes positivos:
Para simplificar, divide-se tudo por
:
Passo 4
Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
os coeficientes são
,
,
. A solução é
Calcular o discriminante:
Portanto
Temos duas raízes, mas a TIR anual razoável aqui é a que é maior que
(e tipicamente positiva). Tomando o sinal
:
(Observação útil para prova: reorganizar e usar substituição
também leva ao mesmo resultado; aqui mostramos a forma direta em
.)
Passo 5
Aproximação numérica e verificação rápida:
Aproximando , obtemos
Aproximando
Em porcentagem, isso é
.
Verificação rápida (checar que o VPL fica próximo de zero): com
,
e
, ou seja, iguala o investimento inicial de
(em milhões), mostrando consistência.