Questão 2. De acordo com as informações abaixo, determine o VPL dos projetos A e B e informe se os mesmos são viáveis ou não e diga o porquê.
Table 1: Projeto A
\captionsetup{labelformat=empty}
Período (k) Fluxo de Caixa (FC) taxa no período(k)
0 -170.000
1 60.000 13 \% a.a
2 60.000 13 \% a.a
3 60.000 13 \% a.a
4 60.000 13 \% a.a
5 60.000 13 \% a.a
Table 2: Projeto B
\captionsetup{labelformat=empty}
Período (k) Fluxo de Caixa (FC) taxa no período(k)
0 -170.000
1 60.000 10 \%
2 60.000 13 \%
3 60.000 15 \%
4 60.000 12 \%
5 60.000 10 \%

Passo 1

O enunciado fornece dois projetos com os seguintes dados (estou listando todos os números que aparecem no enunciado):
  • Projeto A:
    • Fluxo inicial (período 0): FC_0 = -170.000.
    • Fluxos nos períodos k=1,2,3,4,5: FC_k = 60.000 para cada k.
    • Taxa por período (para descontar): i=13\% ao ano, igual em todos os períodos 1 a 5.
  • Projeto B:
    • Fluxo inicial (período 0): FC_0 = -170.000.
    • Fluxos nos períodos k=1,2,3,4,5: FC_k = 60.000 para cada k.
    • Taxas por período (variando): r_1=10\%, r_2=13\%, r_3=15\%, r_4=12\%, r_5=10\%.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o Valor Presente Líquido (VPL) de cada projeto A e B.
  • Informar se cada projeto é viável ou não e justificar o porquê.

Passo 2

O que é VPL e como calcular (aula rápida e prática):
  • O Valor Presente Líquido (VPL) é a soma dos valores presentes de todos os fluxos de caixa do projeto, incluindo o investimento inicial. Em linguagem simples: traga todos os recebimentos e pagamentos para o tempo zero usando taxas de desconto e some; o resultado é o VPL.
  • Regra de decisão prática: se \text{VPL} > 0 o projeto agrega valor (é viável), se \text{VPL} < 0 o projeto destrói valor (não é viável). Se \text{VPL} = 0 é indiferente.
  • Formula geral (caso de taxas constantes por período): \text{VPL} = FC_0 + \sum_{k=1}^{n} \frac{FC_k}{(1+i)^k}.Aqui FC_0 é o fluxo no tempo zero (normalmente negativo para investimento), FC_k é o fluxo no período k, i é a taxa por período e n o número de períodos.
  • Quando as taxas variam por período (como no projeto B), cada fluxo do tempo k deve ser descontado pela multiplicação acumulada das taxas até k: \text{fator de desconto no período }k = \prod_{j=1}^{k} (1+r_j),íe então \text{VPL} = FC_0 + \sum_{k=1}^{n} \frac{FC_k}{\prod_{j=1}^{k} (1+r_j)}.
  • Observação prática: quando os FC_k são todos iguais e a taxa é constante, pode-se usar a fórmula da anuidade: \text{PV}_{\text{anuidade}} = FC \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i},que dá o valor presente dos n pagamentos FC descontados à taxa i.

Passo 3

Cálculo do VPL do Projeto A (taxa constante i=13\%, n=5):
  • Aplicando a fórmula da anuidade porque todos os FC_k são iguais ( 60.000): \text{PV dos recebimentos} = 60.000 \cdot \frac{1-(1+0,13)^{-5}}{0,13}.Vou calcular passo a passo: (1+0,13)^5 = 1,13^5 \approx 1{,}8424351793.Então (1+0,13)^{-5} = \frac{1}{1{,}8424351793} \approx 0{,}542753.Agora o numerador da fração: 1 - (1+0,13)^{-5} \approx 1 - 0{,}542753 = 0{,}457247.Dividindo por i=0,13: \frac{1-(1+0,13)^{-5}}{0,13} \approx \frac{0{,}457247}{0,13} \approx 3{,}517286.Multiplicando por 60.000: \text{PV dos recebimentos} \approx 60.000 \times 3{,}517286 \approx 211.037,16.
  • Agora o VPL: \text{VPL}_A = FC_0 + \text{PV dos recebimentos} = -170.000 + 211.037,16 \approx 41.037,16.
  • (Comentário prático: dá para chegar ao mesmo somando cada fluxo descontado separadamente: 60.000/(1{,}13), 60.000/(1{,}13)^2, …, e somando; aqui usei a fórmula da anuidade para agilizar e reduzir erros de arredondamento.)

Passo 4

Interpretação do VPL do Projeto A:
  • Como \text{VPL}_A \approx 41.037,16 > 0, o projeto A é viável — isto significa que, ao descontar os recebimentos às taxas pretendidas, o projeto gera um valor presente líquido positivo de cerca de R\$\,41{.}037,16. Em linguagem financeira: o retorno esperado excede a taxa de desconto usada.

Passo 5

Cálculo do VPL do Projeto B (taxas variáveis por período):
  • Aqui não se usa a fórmula da anuidade porque as taxas mudam. Vou calcular fator de desconto acumulado para cada período k e descontar cada 60.000.
  • Taxas dadas: r_1=0{,}10, r_2=0{,}13, r_3=0{,}15, r_4=0{,}12, r_5=0{,}10.
  • Fatores acumulados: \begin{aligned} F_1 &= (1+r_1) = 1{,}10,\\[4pt] F_2 &= (1+r_1)(1+r_2) = 1{,}10\times1{,}13 = 1{,}243,\\[4pt] F_3 &= F_2(1+r_3) = 1{,}243\times1{,}15 = 1{,}42945,\\[4pt] F_4 &= F_3(1+r_4) = 1{,}42945\times1{,}12 \approx 1{,}600984,\\[4pt] F_5 &= F_4(1+r_5) = 1{,}600984\times1{,}10 \approx 1{,}7610824. \end{aligned}
  • Agora desconto cada fluxo: \begin{aligned} \text{PV}_1 &= \frac{60.000}{F_1} = \frac{60.000}{1{,}10} \approx 54.545,45,\\[4pt] \text{PV}_2 &= \frac{60.000}{F_2} = \frac{60.000}{1{,}243} \approx 48.269,88,\\[4pt] \text{PV}_3 &= \frac{60.000}{F_3} = \frac{60.000}{1{,}42945} \approx 41.974,17,\\[4pt] \text{PV}_4 &= \frac{60.000}{F_4} = \frac{60.000}{1{,}600984} \approx 37.477,02,\\[4pt] \text{PV}_5 &= \frac{60.000}{F_5} = \frac{60.000}{1{,}7610824} \approx 34.069,97. \end{aligned}
  • Somando os valores presentes: \text{PV total dos recebimentos} \approx 54.545,45 + 48.269,88 + 41.974,17 + 37.477,02 + 34.069,97 \approx 216.336,49.
  • Finalmente o VPL: \text{VPL}_B = FC_0 + \text{PV total} = -170.000 + 216.336,49 \approx 46.336,49.]

Passo 6

Interpretação do VPL do Projeto B:
  • Como \text{VPL}_B \approx 46.336,49 > 0, o projeto B também é viável. Isso quer dizer que, mesmo com taxas variando ao longo dos períodos, ao descontar corretamente cada recebimento obtém-se um valor presente total maior do que o investimento inicial.

Passo 7

Comparação e observações finais (dicas para a prova):
  • Ambos os projetos têm FC_0 idênticos e FC_k idênticos, mas B tem taxas variáveis. No cálculo acima \text{VPL}_B ficou um pouco maior que \text{VPL}_A. Em provas, lembre-se:
    • Use a fórmula da anuidade quando a taxa for constante (ganha tempo e reduz erro).
    • Use desconto acumulado (produto das (1+r_j)) quando as taxas mudam por período.
    • Sempre compare \text{VPL} com zero para decidir viabilidade.
    • Apresente resultados com 2 casas decimais em reais se pedirem precisão monetária.

Resposta

Projeto A: \text{VPL}_A \approx R\$\,41.037,16; viável, pois \text{VPL}_A>0.
Projeto B: \text{VPL}_B \approx R\$\,46.336,49; viável, pois \text{VPL}_B>0.

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