Questão 1 - Chá a 70^{\circ} \mathrm{C} é transferido para um xícara que inicialmente apresenta temperatura uniforme \mathrm{Ti}= 25^{\circ} \mathrm{C}. A espessura das paredes da xícara também é uniforme e igual a 6 mm . Admitindo que a temperatura superficial das paredes da xícara, que estão em contato com o chá, se torne igual a temperatura do chá instantaneamente, estime o tempo necessário para que um ponto localizado a 2 mm de distância da superficie de contato com o fluido apresente temperatura igual a 30^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Temperatura inicial da xícara (e das suas paredes): \,T_i=25^\circ\mathrm{C}\,.
Chá colocado na xícara com temperatura \,T_{s}=70^\circ\mathrm{C}\,. O enunciado diz que a temperatura da superfície em contato com o chá passa instantaneamente a ser \,T_s.
Espessura total da parede da xícara: 6\\ \mathrm{mm} (informação dada).
Ponto de interesse: localizado a 2\\ \mathrm{mm} da superfície de contato com o fluido (ou seja, x=2\\ \mathrm{mm} medidos para dentro da parede).
Pergunta: estimar o tempo necessário para que esse ponto atinja \,T=30^\circ\mathrm{C}.
Escolha do modelo físico e equação a usar (explicação didática).
Quando uma superfície de um sólido é subitamente levada a uma nova temperatura e essa temperatura é mantida, a solução clássica para a variação de temperatura no interior do sólido, se o sólido pode ser tratado como semi-infinito, é dada pela solução com a função erro complementar (complementary error function). A hipótese “semi-infinito” significa que, durante o tempo de interesse, a frente térmica que se propaga para dentro do material não “sente” a face externa oposta — isto é, a penetração térmica é bem menor que a espessura total.
A solução para uma semi-infinita com temperatura superficial mantida em T_s para t>0 e temperatura inicial T_i é:
T(x,t) é a temperatura no ponto a distância x da superfície no instante t;
\alpha é a difusividade térmica do material (unidade \mathrm{m^2/s});
\operatorname{erfc} é a função erro complementar.
Explicando os termos:
Difusividade térmica \alpha mede a rapidez com que calor se difunde no material. Ela é definida por
\alpha=\frac{k}{\rho c_p},
com k condutividade térmica (\mathrm{W/(m\cdot K)}), \rho densidade (\mathrm{kg/m^3}) e c_p capacidade calorífica (\mathrm{J/(kg\cdot K)}).
A função \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z) está ligada à distribuição normal; valores e inversas podem ser obtidos em tabelas ou calculadora científica. Para resolver para t precisaremos da inversa \operatorname{erfc}^{-1}.
Passo 3
Determinar ou estimar a difusividade térmica \alpha do material da xícara (explicando e justificando a escolha).
O enunciado não indica o material da xícara; xícaras usuais são de porcelana/cerâmica. Vou usar propriedades típicas de porcelana/cerâmica para estimar \alpha. Valores típicos:
Então tomamos \eta\approx 1{,}1283. (Se usar calculadora/PC, obtém-se valor muito próximo; esta interpolação já é suficientemente precisa para estimativa.)
Passo 6
Substituir valores e calcular t (contas detalhadas).
Arredondando, t\approx 1{,}15\\ \mathrm{s}. Ou seja, da estimativa com as propriedades de porcelana, leva cerca de 1 segundo e pouco para o ponto a 2\\ \mathrm{mm} atingir 30^\circ\mathrm{C}.
Passo 7
Verificação da hipótese semi-infinito e comentários sobre consistência.
A profundidade de penetração térmica característica é da ordem de \sqrt{\alpha t}. Calculemos:
Essa penetração é menor que a espessura total da parede (6\\ \mathrm{mm}), portanto a aproximação semi-infinita (ou seja, que a face externa oposta ainda não influencia) é válida para este tempo. Também faz sentido físico: o ponto a 2\\ \mathrm{mm} é atingido por condução num tempo curto porque só é necessária uma pequena elevação de temperatura (de 25^\circ para 30^\circ).
Passo 8
Sensibilidade ao valor de \alpha (para ver como a incerteza nas propriedades materiais afeta o resultado).
Se \alpha fosse menor (por exemplo 5\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}) ou maior (por exemplo 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}), mantendo o mesmo \eta, temos aproximadamente:
Ou seja, a ordem de grandeza permanece de \sim 1\\ \mathrm{s}. Isso mostra que, apesar da incerteza no material, a resposta é rápida (fração de segundo a poucos segundos).
Passo 9
Resumo final rápido e motivação.
Método usado: condução transiente em semi-infinito com superfície mantida à temperatura do chá.
Principais passos: escrever solução com \operatorname{erfc}, isolar o tempo, obter a inversa de \operatorname{erf} por interpolação, calcular t, verificar validade da aproximação.
Resultado: tempo muito curto, da ordem de 1\\ \mathrm{s}. Dá para ver que pequenas elevações de temperatura próximos à superfície acontecem rapidamente por condução.
Força aí — é chato, mas com o passo-a-passo fica tranquilo: escreva a expressão com \operatorname{erfc} na prova, isole t e use uma tabela de \operatorname{erf} para a inversa.