Questão 1 - Chá a 70^{\circ} \mathrm{C} é transferido para um xícara que inicialmente apresenta temperatura uniforme \mathrm{Ti}= 25^{\circ} \mathrm{C}. A espessura das paredes da xícara também é uniforme e igual a 6 mm . Admitindo que a temperatura superficial das paredes da xícara, que estão em contato com o chá, se torne igual a temperatura do chá instantaneamente, estime o tempo necessário para que um ponto localizado a 2 mm de distância da superficie de contato com o fluido apresente temperatura igual a 30^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Temperatura inicial da xícara (e das suas paredes): \,T_i=25^\circ\mathrm{C}\,.
  • Chá colocado na xícara com temperatura \,T_{s}=70^\circ\mathrm{C}\,. O enunciado diz que a temperatura da superfície em contato com o chá passa instantaneamente a ser \,T_s.
  • Espessura total da parede da xícara: 6\\ \mathrm{mm} (informação dada).
  • Ponto de interesse: localizado a 2\\ \mathrm{mm} da superfície de contato com o fluido (ou seja, x=2\\ \mathrm{mm} medidos para dentro da parede).
  • Pergunta: estimar o tempo necessário para que esse ponto atinja \,T=30^\circ\mathrm{C}.
Dados numéricos para usar:
T_i=25^\circ\mathrm{C},\qquad T_s=70^\circ\mathrm{C},\qquad T=30^\circ\mathrm{C}, \qquad x=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m}, \qquad \text{espessura}=6\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Escolha do modelo físico e equação a usar (explicação didática).
Quando uma superfície de um sólido é subitamente levada a uma nova temperatura e essa temperatura é mantida, a solução clássica para a variação de temperatura no interior do sólido, se o sólido pode ser tratado como semi-infinito, é dada pela solução com a função erro complementar (complementary error function). A hipótese “semi-infinito” significa que, durante o tempo de interesse, a frente térmica que se propaga para dentro do material não “sente” a face externa oposta — isto é, a penetração térmica é bem menor que a espessura total.
A solução para uma semi-infinita com temperatura superficial mantida em T_s para t>0 e temperatura inicial T_i é:
\frac{T(x,t)-T_i}{T_s-T_i}=\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right),
onde:
  • T(x,t) é a temperatura no ponto a distância x da superfície no instante t;
  • \alpha é a difusividade térmica do material (unidade \mathrm{m^2/s});
  • \operatorname{erfc} é a função erro complementar.
Explicando os termos:
  • Difusividade térmica \alpha mede a rapidez com que calor se difunde no material. Ela é definida por
\alpha=\frac{k}{\rho c_p},
com k condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}), \rho densidade ( \mathrm{kg/m^3}) e c_p capacidade calorífica ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
  • A função \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z) está ligada à distribuição normal; valores e inversas podem ser obtidos em tabelas ou calculadora científica. Para resolver para t precisaremos da inversa \operatorname{erfc}^{-1}.

Passo 3

Determinar ou estimar a difusividade térmica \alpha do material da xícara (explicando e justificando a escolha).
O enunciado não indica o material da xícara; xícaras usuais são de porcelana/cerâmica. Vou usar propriedades típicas de porcelana/cerâmica para estimar \alpha. Valores típicos:
  • k\approx 1{,}5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
  • \rho\approx 2500\\ \mathrm{kg/m^3},
  • c_p\approx 880\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Calculemos \alpha:
\alpha=\frac{k}{\rho c_p}=\frac{1{,}5}{2500\cdot 880}=\frac{1{,}5}{2{,}200{,}000}\approx 6{,}818\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
Comentário: se o material fosse diferente, \alpha mudaria, e o resultado será sensível a isso — vou avaliar a sensibilidade depois.

Passo 4

Isolar t a partir da solução com \operatorname{erfc} (mostrar a álgebra e o raciocínio).
Defina a razão adimensional de temperatura:
\theta\equiv\frac{T(x,t)-T_i}{T_s-T_i}.
Queremos T(x,t)=30^\circ\mathrm{C}. Então
\theta=\frac{30-25}{70-25}=\frac{5}{45}=\frac{1}{9}\approx 0{,}111111\ldots
Usando a solução,
\theta=\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right).
Denote
\eta\equiv\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}.
Então \operatorname{erfc}(\eta)=\theta, isto é \eta=\operatorname{erfc}^{-1}(\theta). Reescrevendo para t:
t=\frac{x^2}{4\alpha\,\eta^2}=\frac{x^2}{4\alpha\left[\operatorname{erfc}^{-1}(\theta)\right]^2}.
Portanto precisamos do valor \eta=\operatorname{erfc}^{-1}(\tfrac{1}{9}). Como \operatorname{erfc}^{-1}(y)=\operatorname{erf}^{-1}(1-y), podemos usar:
\eta=\operatorname{erf}^{-1}(1-\theta)=\operatorname{erf}^{-1}\!\left(1-\tfrac{1}{9}\right)=\operatorname{erf}^{-1}\!\left(\tfrac{8}{9}\right)\approx\operatorname{erf}^{-1}(0{,}888888\ldots).

Passo 5

Encontrar numericamente \eta=\operatorname{erf}^{-1}(0{,}888888\ldots) (mostrando como obter o valor).
Usando uma tabela/valores conhecidos de \operatorname{erf}(z):
\begin{aligned} \operatorname{erf}(1{,}00)&=0{,}842700,\\\ \operatorname{erf}(1{,}10)&=0{,}880205,\\\ \operatorname{erf}(1{,}12)&=0{,}886882,\\\ \operatorname{erf}(1{,}13)&=0{,}889344. \end{aligned}
Procuramos z tal que \operatorname{erf}(z)=0{,}888888\ldots. Observando os valores, fica entre 1{,}12 e 1{,}13. Interpolando linearmente:
\eta\approx 1{,}12 + \frac{0{,}888888-0{,}886882}{0{,}889344-0{,}886882}\cdot(0{,}01) \approx 1{,}12 + \frac{0{,}002006}{0{,}002462}\cdot0{,}01\approx 1{,}1283.
Então tomamos \eta\approx 1{,}1283. (Se usar calculadora/PC, obtém-se valor muito próximo; esta interpolação já é suficientemente precisa para estimativa.)

Passo 6

Substituir valores e calcular t (contas detalhadas).
Recordando:
x=0{,}002\\ \mathrm{m},\qquad \alpha\approx 6{,}818\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s},\qquad \eta\approx 1{,}1283.
Calcule \eta^2:
\eta^2\approx (1{,}1283)^2\approx 1{,}2726.
Agora o denominador:
4\alpha\eta^2=4\cdot 6{,}818\times10^{-7}\cdot 1{,}2726 \approx 2{,}7272\times10^{-6}\cdot 1{,}2726 \approx 3{,}469\times10^{-6}\\ \mathrm{s^{-1}}\\ (\text{unidade combinada}).
Numerador:
x^2=(0{,}002)^2=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
Portanto
t=\frac{4{,}0\times10^{-6}}{3{,}469\times10^{-6}}\approx 1{,}153\\ \mathrm{s}.
Arredondando, t\approx 1{,}15\\ \mathrm{s}. Ou seja, da estimativa com as propriedades de porcelana, leva cerca de 1 segundo e pouco para o ponto a 2\\ \mathrm{mm} atingir 30^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação da hipótese semi-infinito e comentários sobre consistência.
A profundidade de penetração térmica característica é da ordem de \sqrt{\alpha t}. Calculemos:
\sqrt{\alpha t}=\sqrt{6{,}818\times10^{-7}\cdot 1{,}153}\approx \sqrt{7{,}866\times10^{-7}}\approx 8{,}87\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}887\\ \mathrm{mm}.
Essa penetração é menor que a espessura total da parede ( 6\\ \mathrm{mm}), portanto a aproximação semi-infinita (ou seja, que a face externa oposta ainda não influencia) é válida para este tempo. Também faz sentido físico: o ponto a 2\\ \mathrm{mm} é atingido por condução num tempo curto porque só é necessária uma pequena elevação de temperatura (de 25^\circ para 30^\circ).

Passo 8

Sensibilidade ao valor de \alpha (para ver como a incerteza nas propriedades materiais afeta o resultado).
Se \alpha fosse menor (por exemplo 5\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}) ou maior (por exemplo 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}), mantendo o mesmo \eta, temos aproximadamente:
t\big|_{\alpha=5\times10^{-7}}\approx 1{,}57\\ \mathrm{s},\qquad t\big|_{\alpha=1{,}0\times10^{-6}}\approx 0{,}79\\ \mathrm{s}.
Ou seja, a ordem de grandeza permanece de \sim 1\\ \mathrm{s}. Isso mostra que, apesar da incerteza no material, a resposta é rápida (fração de segundo a poucos segundos).

Passo 9

Resumo final rápido e motivação.
  • Método usado: condução transiente em semi-infinito com superfície mantida à temperatura do chá.
  • Principais passos: escrever solução com \operatorname{erfc}, isolar o tempo, obter a inversa de \operatorname{erf} por interpolação, calcular t, verificar validade da aproximação.
  • Resultado: tempo muito curto, da ordem de 1\\ \mathrm{s}. Dá para ver que pequenas elevações de temperatura próximos à superfície acontecem rapidamente por condução.
Força aí — é chato, mas com o passo-a-passo fica tranquilo: escreva a expressão com \operatorname{erfc} na prova, isole t e use uma tabela de \operatorname{erf} para a inversa.

Resposta

t\approx 1{,}15\\ \mathrm{s}

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