Questão 2 - Considere uma placa de aço-carbono, com 1,6 cm de espessura, que inicialmente apresenta temperatura uniforme de 600^{\circ} \mathrm{C}. A placa é colocada, no instante inicial num banho de água à 15^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transmissão de calor por convecção é 1 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. As propriedades do aço-carbono podem ser admitidas constantes ( k=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e a=1 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ). Calcule (a) o tempo necessário para que a temperatura no plano central da chapa caia para 100^{\circ} \mathrm{C} e (b) a temperatura no plano situado a 0,2 \mathrm{~cm} de uma das superficies da chapa neste instante.

Passo 1

O enunciado dá uma chapa de aço-carbono com espessura total 1,6\\ \mathrm{cm} e temperatura inicial homogênea 600^{\circ}\mathrm{C}. A chapa é imersa num banho a 15^{\circ}\mathrm{C} com coeficiente convectivo h=1\times10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}. As propriedades térmicas são k=40\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K} e a=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
O que se pede:
  • (a) o tempo necessário para que a temperatura no plano central da chapa caia para 100^{\circ}\mathrm{C};
  • (b) a temperatura no plano situado a 0,2\\ \mathrm{cm} de uma das superfícies da chapa nesse instante.
    Dados relevantes extraídos do enunciado (transformados para unidades do SI):
\begin{aligned} &\text{espessura total } = 1,6\\ \mathrm{cm} = 0,016\\ \mathrm{m},\\\ &\text{meia-espessura } L=\tfrac{0,016}{2}=0,008\\ \mathrm{m},\\\ &T_{i}=600\\ ^{\circ}\mathrm{C},\quad T_{\infty}=15\\ ^{\circ}\mathrm{C},\quad T_{\mathrm{centro\\ alvo}}=100\\ ^{\circ}\mathrm{C},\\\ &h=1\times10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K},\quad k=40\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K},\quad a=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}. \end{aligned}

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicação didática).
Temos condução transiente unidimensional numa placa com convecção nas duas faces. Quando o número de Biot Bi=\dfrac{hL}{k} não é pequeno (regra prática: se Bi>0,1 não vale o modelo de corpo homogéneo), usa-se a solução da equação de difusão em série de autovalores (método das funções separáveis / solução por autovalores). Aqui:
Bi=\frac{hL}{k}.
Se Bi>0,1 devemos usar a solução por séries com autovalores \zeta_{n} dados pela equação transcendental apropriada para placa simétrica:
\zeta_{n}\tan \zeta_{n}=Bi.
A solução para a temperatura adimensional \theta (definida abaixo) em posição x e tempo adimensional \mathrm{Fo} é, em série,
\theta(x,\mathrm{Fo})=\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\cos\!\big(\zeta_{n}\tfrac{x}{L}\big)\,e^{-\zeta_{n}^{2}\mathrm{Fo}},
onde as constantes C_{n} são
C_{n}=\frac{4\sin\zeta_{n}}{2\zeta_{n}+\sin(2\zeta_{n})}.
Aqui as quantidades têm o significado:
\theta=\frac{T-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}},\qquad \mathrm{Fo}=\frac{a\,t}{L^{2}}.
Na prática, muitas vezes basta a primeira contribuição ( n=1) quando \mathrm{Fo} não é muito pequeno, o que chamamos de aproximação de primeiro termo. Vamos verificar e usar essa aproximação.

Passo 3

Calcular o número de Biot e decidir pela aproximação:
Bi=\frac{hL}{k}=\frac{1\times10^{4}\cdot 0,008}{40}= \frac{80}{40}=2.
Como Bi=2 (bem maior que 0,1), não podemos usar o modelo de corpo homogêneo; é apropriado usar a solução em séries. Em seguida vamos obter o primeiro autovalor \zeta_{1} resolvendo
\zeta\tan\zeta=Bi=2.

Passo 4

Determinar numericamente o primeiro autovalor \zeta_{1}. Procura-se \zeta no intervalo (0,\tfrac{\pi}{2}) tal que \zeta\tan\zeta=2. Fazer tentativas:
\begin{aligned} &\zeta=1{,}00:\quad 1{,}00\tan(1{,}00)\approx1{,}557<2,\\\ &\zeta=1{,}08:\quad 1{,}08\tan(1{,}08)\approx2{,}028>2. \end{aligned}
Interpolando entre 1{,}075 e 1{,}080 (valores testados), encontra-se
\zeta_{1}\approx 1{,}0766\\ (\text{rad}).

Passo 5

Calcular o coeficiente C_{1} associado a \zeta_{1}. Primeiro avaliar as funções trigonométricas:
\sin\zeta_{1}\approx\sin(1{,}0766)\approx0{,}8829, \qquad \sin(2\zeta_{1})\approx\sin(2{,}1532)\approx0{,}8350.
Agora
C_{1}=\frac{4\sin\zeta_{1}}{2\zeta_{1}+\sin(2\zeta_{1})} \approx\frac{4\cdot0{,}8829}{2\cdot1{,}0766+0{,}8350} \approx\frac{3{,}5316}{2{,}9882}\approx1{,}182.
Breve interpretação: C_{1} é o peso da primeira moda espacial na série. Valores maiores que 1 são possíveis; a série completa converge para \theta=1 em \mathrm{Fo}=0 quando somadas todas as parcelas.

Passo 6

Determinar a dimensãoless temperatura alvo no centro e usar a aproximação de primeiro termo para obter \mathrm{Fo}.
A temperatura adimensional desejada no centro é
\theta_{\mathrm{centro}}=\frac{T_{\mathrm{centro}}-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}} =\frac{100-15}{600-15}=\frac{85}{585}\approx0{,}145299.
Na aproximação de primeiro termo, no centro ( x=0, \cos 0=1):
\theta_{\mathrm{centro}} \approx C_{1}\,e^{-\zeta_{1}^{2}\mathrm{Fo}}.
Isolando \mathrm{Fo}:
\mathrm{Fo}=-\frac{1}{\zeta_{1}^{2}}\ln\!\Big(\frac{\theta_{\mathrm{centro}}}{C_{1}}\Big).
Calcular números: \zeta_{1}^{2}\approx(1{,}0766)^{2}\approx1{,}1590. Então
\frac{\theta_{\mathrm{centro}}}{C_{1}}\approx\frac{0{,}145299}{1{,}182}\approx0{,}1230,
\ln(0{,}1230)\approx -2{,}0956,
\mathrm{Fo}\approx\frac{2{,}0956}{1{,}1590}\approx1{,}8076.

Passo 7

Converter \mathrm{Fo} em tempo t. Lembrando que \mathrm{Fo}=\dfrac{a\,t}{L^{2}}, temos
t=\frac{\mathrm{Fo}\,L^{2}}{a}.
Usando L=0,008\\ \mathrm{m} e a=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}:
L^{2}=(0,008)^{2}=6{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2},
t=1{,}8076\cdot\frac{6{,}4\times10^{-5}}{1\times10^{-4}} =1{,}8076\cdot0{,}64\approx1{,}1569\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente, t\approx1{,}16\\ \mathrm{s}. (Observação: o tempo é curto porque o coeficiente convectivo h é muito grande.)

Passo 8

Calcular a temperatura no plano situado a 0,2\\ \mathrm{cm} de uma superfície no instante t.
Posição pedida: 0{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}002\\ \mathrm{m} medida a partir da superfície. No sistema com origem no centro, a coordenada x do ponto é
x=L-0{,}002=0{,}008-0{,}002=0{,}006\\ \mathrm{m}.
A posição adimensional é \dfrac{x}{L}=0{,}006/0{,}008=0{,}75. Usando novamente a aproximação do primeiro termo:
\theta\!\big(x,\mathrm{Fo}\big)\approx C_{1}\cos\!\big(\zeta_{1}\tfrac{x}{L}\big)\,e^{-\zeta_{1}^{2}\mathrm{Fo}}.
Mas já sabemos que C_{1}e^{-\zeta_{1}^{2}\mathrm{Fo}}=\theta_{\mathrm{centro}}\approx0{,}145299. Logo
\theta(x)\approx\theta_{\mathrm{centro}}\cos\!\big(\zeta_{1}\tfrac{x}{L}\big).
Calcular o argumento do cosseno:
\zeta_{1}\tfrac{x}{L}=1{,}0766\cdot0{,}75\approx0{,}80745\\ \text{rad},
\cos(0{,}80745)\approx0{,}6922.
Assim
\theta(x)\approx0{,}145299\cdot0{,}6922\approx0{,}10056.
Converter para temperatura:
T(x)=T_{\infty}+\theta(x)\,(T_{i}-T_{\infty}) =15 + 0{,}10056\cdot585\approx15+58{,}83\approx73{,}83\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando: T\approx73{,}8\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

t\approx1{,}16\\ \mathrm{s}
T(0{,}2\\ \mathrm{cm}\\ \text{da superfície},\\ t)\approx73{,}8\\ ^{\circ}\mathrm{C}í

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