Questão 2 - Considere uma placa de aço-carbono, com 1,6 cm de espessura, que inicialmente apresenta temperatura uniforme de
. A placa é colocada, no instante inicial num banho de água à
. O coeficiente de transmissão de calor por convecção é
. As propriedades do aço-carbono podem ser admitidas constantes (
e
). Calcule (a) o tempo necessário para que a temperatura no plano central da chapa caia para
e (b) a temperatura no plano situado a
de uma das superficies da chapa neste instante.
Passo 1
O enunciado dá uma chapa de aço-carbono com espessura total
e temperatura inicial homogênea
. A chapa é imersa num banho a
com coeficiente convectivo
. As propriedades térmicas são
e
.
O que se pede:
O que se pede:
- (a) o tempo necessário para que a temperatura no plano central da chapa caia para
; - (b) a temperatura no plano situado a
de uma das superfícies da chapa nesse instante.
Dados relevantes extraídos do enunciado (transformados para unidades do SI):
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicação didática).
Temos condução transiente unidimensional numa placa com convecção nas duas faces. Quando o número de Biot não é pequeno (regra prática: se
não vale o modelo de corpo homogéneo), usa-se a solução da equação de difusão em série de autovalores (método das funções separáveis / solução por autovalores). Aqui:
Temos condução transiente unidimensional numa placa com convecção nas duas faces. Quando o número de Biot
Se
devemos usar a solução por séries com autovalores
dados pela equação transcendental apropriada para placa simétrica:
A solução para a temperatura adimensional
(definida abaixo) em posição
e tempo adimensional
é, em série,
onde as constantes
são
Aqui as quantidades têm o significado:
Na prática, muitas vezes basta a primeira contribuição (
) quando
não é muito pequeno, o que chamamos de aproximação de primeiro termo. Vamos verificar e usar essa aproximação.
Passo 3
Calcular o número de Biot e decidir pela aproximação:
Como
(bem maior que
), não podemos usar o modelo de corpo homogêneo; é apropriado usar a solução em séries. Em seguida vamos obter o primeiro autovalor
resolvendo
Passo 4
Determinar numericamente o primeiro autovalor
. Procura-se
no intervalo
tal que
. Fazer tentativas:
Interpolando entre
e
(valores testados), encontra-se
Passo 5
Calcular o coeficiente
associado a
. Primeiro avaliar as funções trigonométricas:
Agora
Breve interpretação:
é o peso da primeira moda espacial na série. Valores maiores que 1 são possíveis; a série completa converge para
em
quando somadas todas as parcelas.
Passo 6
Determinar a dimensãoless temperatura alvo no centro e usar a aproximação de primeiro termo para obter
.
A temperatura adimensional desejada no centro é
A temperatura adimensional desejada no centro é
Na aproximação de primeiro termo, no centro (
,
):
Isolando
:
Calcular números:
. Então
Passo 7
Converter
em tempo
. Lembrando que
, temos
Usando
e
:
Arredondando razoavelmente,
. (Observação: o tempo é curto porque o coeficiente convectivo
é muito grande.)
Passo 8
Calcular a temperatura no plano situado a
de uma superfície no instante
.
Posição pedida: medida a partir da superfície. No sistema com origem no centro, a coordenada
do ponto é
Posição pedida:
A posição adimensional é
. Usando novamente a aproximação do primeiro termo:
Mas já sabemos que
. Logo
Calcular o argumento do cosseno:
Assim
Converter para temperatura:
Arredondando:
.