Questão 3 (peso 4,0) - Uma peça cilíndrica de alumínio de 20 cm de comprimento e 15 cm de diâmetro está, inicialmente, à temperatura ambiente de
. A peça é colocada no interior de um forno cuja atmosfera está à
e o coeficiente de transferência de calor é de
. Após os quatro primeiros minutos de tratamento térmico, qual (a) o valor da temperatura em uma posição de que fica a 30 mm das superficies lateral e de topo? Se após os quatro minutos a peça for retirada do forno para resfriar ao ar livre, qual (b) a quantidade de energia irá dissipar até a atingir temperatura ambiente?
Dados:
Dados:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece vários dados. Vou listar claramente o que foi pedido e os dados numéricos (convertendo para unidades SI quando necessário):
-
O que se pede:
(a) Após os quatro primeiros minutos no forno, qual é a temperatura em uma posição que fica a 30 mm da superfície lateral e a 30 mm da superfície de topo?
(b) Se depois desses quatro minutos a peça for retirada do forno e resfriar ao ar até a temperatura ambiente, quanta energia (calor) será dissipada até voltar à temperatura ambiente? -
Dados fornecidos (convertidos para SI):
- comprimento do cilindro:
. - diâmetro:
raio . - temperatura inicial (ambiente):
. - temperatura do forno (fluido):
. - coeficiente de convecção (forno):
. - tempo no forno:
. - difusividade térmica:
. - condutividade térmica:
. - capacidade térmica massica:
. - posição solicitada: 30 mm =
da superfície lateral e do topo (ou seja, um ponto no interior a essa distância das superfícies).
- comprimento do cilindro:
Observação útil já no enunciado: não foi dada diretamente a densidade
, mas foi dado
,
e
. Como
, pode-se obter
a partir desses dados — farei isso nas próximas etapas.
Passo 2
Primeira tarefa: verificar se podemos usar o método de corpo de temperatura uniforme (modelo de capacitância concentrada, “lumped capacitance”). Para isso calculamos o número de Biot:
- Volume do cilindro:
Calculemos passo a passo:
- Área de superfície externa (área lateral + duas bases):
Calculando numericamente:
- comprimento característico (volume/área):
- Agora precisamos da densidade
. Usamos a relação
Substituindo os valores (atenção às unidades:
):
Calcule:
(Esse valor está coerente com a densidade típica do alumínio
.)
- Agora o número de Biot:
Calcule:
Interpretação:
. Quando
o gradiente de temperatura dentro do sólido é desprezível e o sólido pode ser tratado como de temperatura uniforme (modelo “lumped capacitance”). Ou seja: qualquer ponto interno (incluindo o ponto a 30 mm das superfícies) tem aproximadamente a mesma temperatura do corpo como um todo. Portanto, para (a) basta encontrar a temperatura uniforme do cilindro após
usando o modelo lumped.
Passo 3
Apresento a teoria do método lumped (explicação didática): em corpos com temperatura praticamente uniforme, a equação de balanço de energia para a peça é
onde
-
é a massa do corpo, -
é capacidade térmica mássica, -
é coeficiente de convecção, -
é a área externa, -
é a temperatura do corpo no instante , -
é a temperatura do fluido (forno).
Essa equação é linear e a solução com condição inicial
é
onde a constante de decaimento é
Vou calcular
numericamente.
- massa:
Verificação numérica (é útil notar que
aparecerá já pronto em cálculos):
- agora
:
Calcule numericamente:
Passo 4
Agora uso a solução do modelo lumped para obter
em
:
Substituindo números:
Calcule o expoente:
Portanto
Comentário prático: como o corpo pode ser tratado como de temperatura uniforme, a temperatura no ponto solicitado (30 mm das superfícies) é praticamente essa mesma
.
Passo 5
Agora a parte (b): energia que será dissipada até retornar à temperatura ambiente quando a peça for retirada do forno.
Explicação prática: se a peça, no instante da retirada, está a
e depois esfria até
, a energia térmica total perdida pelo sólido (ignorando qualquer trabalho, radiação específica etc.) é igual à variação de sua energia interna (modelo de corpo com temperatura uniforme):
Aqui não é necessário conhecer o coeficiente de convecção durante o resfriamento: a energia total perdida depende apenas da massa, do Cp e da diferença de temperatura.
Usando os valores já calculados:
Portanto
Em unidades mais usuais:
.