Questão 3 - Um cilindro de aço inoxidável de 2 cm de diâmetro e 5 cm de comprimento é retirado de um forno e colocado sobre uma mesa. O cilindro está a temperatura de
quando é retirado do forno. A superficie em contato com a mesa é considerada perfeitamente isolada durante o processo de resfriamento e as demais superficies estão em contato com o ar a temperatura de
. Determinar a temperatura máxima do cilindro 15 minutos depois de ter sido retirado do forno. O coeficiente médio de transmissão de calor por convecção durante o processo de resfriamento é de
.
.
Dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede que se determine a temperatura máxima do cilindro 15 minutos depois de ter sido retirado do forno. Informações e dados fornecidos:
- Diâmetro do cilindro:
. - Raio do cilindro:
. - Comprimento (altura) do cilindro:
. - Temperatura inicial do cilindro ao sair do forno:
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Superfície em contato com a mesa (a base) é perfeitamente isolada — portanto não troca calor por essa face.
- As demais superfícies (lateral e face superior) trocam calor por convecção com coeficiente médio
. - Condutividade térmica:
. - Difusividade térmica:
. - Tempo pedido:
.
O que é pedido explicitamente: calcular a temperatura máxima do cilindro após
minutos de resfriamento, considerando as condições acima.
Passo 2
Calcular volume e áreas relevantes do cilindro (usar fórmulas básicas de geometria; todas as expressões matemáticas estão explicadas).
Volume do cilindro:
Substituindo:
Área lateral (exposta ao ar):
Área da face superior (exposta ao ar; a face inferior está isolada e não participa):
Área total exposta ao ar (lateral + face superior):
Passo 3
Verificar se podemos usar o método da capacidade térmica concentrada (método “lumped capacitance”), que assume temperatura uniforme no sólido durante o resfriamento. A condição usual é que o número de Biot
seja pequeno (regra prática:
).
Definição do comprimento característico:
Calculando:
Número de Biot:
Substituindo os valores:
Interpretação:
. Logo a condição para usar o modelo de temperatura espacialmente uniforme (lumped capacitance) é satisfeita. Isso significa que, durante o resfriamento, as variações de temperatura dentro do sólido são pequenas e podemos tratar a temperatura do cilindro como uma função apenas do tempo:
.
Passo 4
Escrever o balanço de energia e obter a solução temporal (aulas rápidas sobre o modelo):
Considere
massa do cilindro e
capacidade térmica específica do material (energia por massa por grau). O balanço energético pelo método lumped dá:
Explicando as grandezas:
-
é a massa do cilindro ( ), onde é a densidade do aço inoxidável. -
é o calor específico (energia por massa por grau). -
é a potência convectiva instantânea perdida para o ar.
A equação diferencial é linear e sua solução (com condição inicial
) é:
Observação prática:
. O problema não forneceu
nem
separadamente, mas deu a difusividade térmica
e a condutividade
. Essas grandezas estão ligadas por
Substituindo na exponencial obtemos uma forma conveniente usando somente
e
:
Portanto a solução fica
Passo 5
Calcular numericamente o coeficiente exponencial e a temperatura em
.
Primeiro calcular
:
(Esse valor não precisa ser guardado se usar a forma
, mas é útil para entender ordens de grandeza.)
Agora calcular o coeficiente no expoente
:
Calcule passo a passo (valores aproximados):
Agora avaliar
para
:
Finalmente calcular
:
Arredondando de forma prática para uma casa decimal (suficiente para problemas de engenharia de estimativa):
Passo 6
Breve comentário motivador: o resultado mostra que o cilindro, apesar de muito quente inicialmente, esfria rapidamente nas superfícies expostas e atinge uma temperatura próxima de
em 15 minutos — o uso do critério de Biot pequeno justificou tratar a temperatura interna como praticamente uniforme, o que simplificou muito o cálculo (e é exatamente a técnica usada em provas quando
). Boa!