Questão 3 - Um cilindro de aço inoxidável de 2 cm de diâmetro e 5 cm de comprimento é retirado de um forno e colocado sobre uma mesa. O cilindro está a temperatura de 300^{\circ} \mathrm{C} quando é retirado do forno. A superficie em contato com a mesa é considerada perfeitamente isolada durante o processo de resfriamento e as demais superficies estão em contato com o ar a temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a temperatura máxima do cilindro 15 minutos depois de ter sido retirado do forno. O coeficiente médio de transmissão de calor por convecção durante o processo de resfriamento é de 50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. { }^{\circ} \mathrm{C}.
Dados: \mathrm{k}=17,08 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{a}=4,15 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a temperatura máxima do cilindro 15 minutos depois de ter sido retirado do forno. Informações e dados fornecidos:
  • Diâmetro do cilindro: d=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Raio do cilindro: r=\dfrac{d}{2}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento (altura) do cilindro: L=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial do cilindro ao sair do forno: T_i=300^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=15^\circ\mathrm{C}.
  • Superfície em contato com a mesa (a base) é perfeitamente isolada — portanto não troca calor por essa face.
  • As demais superfícies (lateral e face superior) trocam calor por convecção com coeficiente médio h=50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica: k=17{,}08\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}.
  • Difusividade térmica: a=4{,}15\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Tempo pedido: t=15\\ \text{min}=900\\ \mathrm{s}.
O que é pedido explicitamente: calcular a temperatura máxima do cilindro após 15 minutos de resfriamento, considerando as condições acima.

Passo 2

Calcular volume e áreas relevantes do cilindro (usar fórmulas básicas de geometria; todas as expressões matemáticas estão explicadas).
Volume do cilindro:
V=\pi r^{2}L.
Substituindo:
V=\pi(0{,}01)^2(0{,}05)=\pi\cdot 1{,}0\times10^{-4}\cdot 5{,}0\times10^{-2}=\pi\cdot 5{,}0\times10^{-6}=1{,}5708\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
Área lateral (exposta ao ar):
A_{\text{lat}}=2\pi r L=2\pi(0{,}01)(0{,}05)=\pi\cdot 1{,}0\times10^{-3}=3{,}1416\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
Área da face superior (exposta ao ar; a face inferior está isolada e não participa):
A_{\text{top}}=\pi r^{2}=\pi(0{,}01)^2=\pi\cdot 1{,}0\times10^{-4}=3{,}1416\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Área total exposta ao ar (lateral + face superior):
A=A_{\text{lat}}+A_{\text{top}}=3{,}1416\times10^{-3}+3{,}1416\times10^{-4}=3{,}45576\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Verificar se podemos usar o método da capacidade térmica concentrada (método “lumped capacitance”), que assume temperatura uniforme no sólido durante o resfriamento. A condição usual é que o número de Biot \mathrm{Bi} seja pequeno (regra prática: \mathrm{Bi}<0{,}1).
Definição do comprimento característico:
L_c=\dfrac{V}{A}.
Calculando:
L_c=\dfrac{1{,}5708\times10^{-5}}{3{,}45576\times10^{-3}}=4{,}544\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Número de Biot:
\mathrm{Bi}=\dfrac{h L_c}{k}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Bi}=\dfrac{50\cdot 4{,}544\times10^{-3}}{17{,}08}=\dfrac{0{,}2272}{17{,}08}\approx0{,}0133.
Interpretação: \mathrm{Bi}\approx0{,}0133<0{,}1. Logo a condição para usar o modelo de temperatura espacialmente uniforme (lumped capacitance) é satisfeita. Isso significa que, durante o resfriamento, as variações de temperatura dentro do sólido são pequenas e podemos tratar a temperatura do cilindro como uma função apenas do tempo: T(t).

Passo 4

Escrever o balanço de energia e obter a solução temporal (aulas rápidas sobre o modelo):
Considere m massa do cilindro e c capacidade térmica específica do material (energia por massa por grau). O balanço energético pelo método lumped dá:
m c \dfrac{dT}{dt} = - h A \bigl(T(t)-T_\infty\bigr).
Explicando as grandezas:
  • m é a massa do cilindro ( m=\rho V), onde \rho é a densidade do aço inoxidável.
  • c é o calor específico (energia por massa por grau).
  • hA(T-T_\infty) é a potência convectiva instantânea perdida para o ar.
A equação diferencial é linear e sua solução (com condição inicial T(0)=T_i) é:
T(t)=T_\infty + \bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\left(-\dfrac{hA}{m c}\,t\right).
Observação prática: m c = \rho c V. O problema não forneceu \rho nem c separadamente, mas deu a difusividade térmica a e a condutividade k. Essas grandezas estão ligadas por
a=\dfrac{k}{\rho c}\quad\Rightarrow\quad \rho c=\dfrac{k}{a}.
Substituindo na exponencial obtemos uma forma conveniente usando somente k e a:
\dfrac{hA}{\rho c V}=\dfrac{hA a}{k V}.
Portanto a solução fica
T(t)=T_\infty + \bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\left(-\dfrac{h A a}{k V}\,t\right).

Passo 5

Calcular numericamente o coeficiente exponencial e a temperatura em t=900\\ \mathrm{s}.
Primeiro calcular \rho c=\dfrac{k}{a}:
\rho c=\dfrac{17{,}08}{4{,}15\times10^{-6}}=\dfrac{17{,}08}{4{,}15\times10^{-6}}\approx4{,}116\!\times\!10^{6}\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^3\cdot{}^\circ\mathrm{C}.
(Esse valor não precisa ser guardado se usar a forma h A a/(k V), mas é útil para entender ordens de grandeza.)
Agora calcular o coeficiente no expoente \lambda=\dfrac{hA a}{k V}:
\lambda=\dfrac{50\cdot 3{,}45576\times10^{-3}\cdot 4{,}15\times10^{-6}}{17{,}08\cdot 1{,}5708\times10^{-5}}.
Calcule passo a passo (valores aproximados):
\text{numerador}=50\cdot 3{,}45576\times10^{-3}\cdot 4{,}15\times10^{-6}=0{,}172788\cdot 4{,}15\times10^{-6}=7{,}1707\times10^{-7}.
\text{denominador}=17{,}08\cdot 1{,}5708\times10^{-5}=2{,}68293\times10^{-4}.
\lambda=\dfrac{7{,}1707\times10^{-7}}{2{,}68293\times10^{-4}}\approx2{,}672\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Agora avaliar \exp(-\lambda t) para t=900\\ \mathrm{s}:
\lambda t=(2{,}672\times10^{-3})(900)=2{,}4048.
\exp(-\lambda t)=\exp(-2{,}4048)\approx0{,}0903.
Finalmente calcular T(900):
T(900)=15 + (300-15)\cdot 0{,}0903=15 + 285\cdot0{,}0903=15 + 25{,}7445\approx40{,}7445^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática para uma casa decimal (suficiente para problemas de engenharia de estimativa):
T(15\\ \text{min})\approx40{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Breve comentário motivador: o resultado mostra que o cilindro, apesar de muito quente inicialmente, esfria rapidamente nas superfícies expostas e atinge uma temperatura próxima de 40{,}7^\circ\mathrm{C} em 15 minutos — o uso do critério de Biot pequeno justificou tratar a temperatura interna como praticamente uniforme, o que simplificou muito o cálculo (e é exatamente a técnica usada em provas quando \mathrm{Bi}<0{,}1). Boa!

Resposta

T(15\\ \text{min})\approx 40{,}7^\circ\mathrm{C}

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